Question

10．已知x＞0，y＞0，且x²-2xy+4y²=1．
（Ⅰ）求證：x+2y≤2；
（Ⅱ）求y的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）x²-2xy+4y²=1，變形為（x-y）²+3y²=1，換元，再利用三角函數(shù)知識(shí)，即可證明；
（Ⅱ）由y=$\frac{sinθ}{\sqrt{3}}$，θ∈（0，$\frac{π}{2}$]，即可求出y的取值范圍．

解答 （Ⅰ）證明：x²-2xy+4y²=1，變形為（x-y）²+3y²=1，
∵x＞0，y＞0，令y=$\frac{sinθ}{\sqrt{3}}$，x-y=cosθ，θ∈（0，$\frac{π}{2}$]．
則x=cosθ+$\frac{sinθ}{\sqrt{3}}$．
∴x+2y=cosθ+$\sqrt{3}$sinθ=2sin（θ+$\frac{π}{6}$），
∴x+2y≤2；
（Ⅱ）解：∵y=$\frac{sinθ}{\sqrt{3}}$，θ∈（0，$\frac{π}{2}$]，
∴y的取值范圍是（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角變換、配方法、三角函數(shù)的單調(diào)性、兩角和差的正弦公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．