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是否存在常數a,b,c使得等式1•22+2•32+…+n(n+1)2=(an2+bn+c)對于一切正整數n都成立?并證明你的結論.
【答案】分析:先假設存在符合題意的常數a,b,c,再令n=1,n=2,n=3構造三個方程求出a,b,c,再用用數學歸納法證明成立,證明時先證:(1)當n=1時成立.(2)再假設n=k(k≥1)時,成立,即1•22+2•32++k(k+1)2=(3k2+11k+10),再遞推到n=k+1時,成立即可.
解答:證明:假設存在符合題意的常數a,b,c,
在等式1•22+2•32++n(n+1)2
=(an2+bn+c)中,
令n=1,得4=(a+b+c)①
令n=2,得22=(4a+2b+c)②
令n=3,得70=9a+3b+c③
由①②③解得a=3,b=11,c=10,
于是,對于n=1,2,3都有
1•22+2•32++n(n+1)2=(3n2+11n+10)(*)成立.
下面用數學歸納法證明:對于一切正整數n,(*)式都成立.
(1)當n=1時,由上述知,(*)成立.
(2)假設n=k(k≥1)時,(*)成立,
即1•22+2•32++k(k+1)2
=(3k2+11k+10),
那么當n=k+1時,
1•22+2•32++k(k+1)2+(k+1)(k+2)2
=(3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2
=(3k2+5k+12k+24)
=[3(k+1)2+11(k+1)+10],
由此可知,當n=k+1時,(*)式也成立.
綜上所述,當a=3,b=11,c=10時題設的等式對于一切正整數n都成立.
點評:本題主要考查研究存在性問題和數學歸納法,對存在性問題先假設存在,再證明是否符合條件,數學歸納法的關鍵是遞推環(huán)節(jié),要符合假設的模型才能成立.
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