Question

已知α，β是方程4x²－4tx－1＝0(t∈R)的兩個實數(shù)根，函數(shù)f(x)＝的定義域為[α，β]．
(1)判斷f(x)在[α，β]上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
(2)設(shè)g(t)＝maxf(x)－minf(x)，求函數(shù)g(t)的最小值

Answer 1

(1)f(x)在[α，β]上為增函數(shù)
∵f(x)＝，∴f′(x)＝，
∵當x∈(α，β)時，4x²－4tx－1<0，
∴當x∈(α，β)時，－2x²＋2tx＋>0，
∴當x∈(α，β)時，－2x²＋2tx＋2>0,
∴f′(x)>0，∴f(x)在[α，β]上單增．
(2)由題意及(1)可知，f(x)_max＝f(β)，f(x)_min＝f(α)，
∴g(t)＝f(β)－f(α)＝－
＝
∵α＋β＝t，αβ＝－，∴β－α＝＝，
α²＋β²＝(α＋β)²－2αβ＝t²＋，
∴g(t)＝，t∈R，
令＝U，則t²＝U²－1，U∈[1，＋∞)，
∴g(t)＝＝，
∵′＝>0，
∴在[1，＋∞)單調(diào)遞增，
∴當U＝1，t＝0時，g(t)_min＝.

解析