Question

6．在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，DC⊥AD，PA⊥平面ABCD，2AD=BC=2$\sqrt{3}$，∠DAC=30°，M為PB中點．
（1）證明：AM∥平面PCD；
（2）若三棱錐M-PCD的體積為$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，求M到平面PCD的距離．

Answer 1

分析 （1）取PC的中點為N，連結MN，DN，利用AD∥BC，通過證明NM∥AD，推出AM∥ND，即可證明AM∥平面PCD．
（2）利用三棱錐M-PCD的體積為$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，轉(zhuǎn)化求解V_B-PCD，設點M到平面PCD的距離為h，通過體積，求解M到平面PCD的距離．

解答 （本小題滿分12分）
解：取PC的中點為N，連結MN，DN
（1）∵M是PB的中點，∴$MN∥BC，MN=\frac{1}{2}BC$∵AD∥BC，且BC=2AD，∴NM∥AD且NM=AD，∴四邊形AMND為平行四邊形，∴AM∥ND，又∵AM?平面PCD，ND?平面PCD
所以AM∥平面PCD（6分）
（2）∵M是PB的中點，∴${V_{三棱錐M-PCD}}=\frac{1}{2}{V_{三棱錐B-PCD}}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$∵${V_{三棱錐B-PCD}}={V_{三棱錐P-BCD}}=\frac{1}{3}•{S_{△BCD}}•PA=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1×PA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}PA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
所以PA=1∵CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD
又∵$PA=1，AD=\sqrt{3}$，∴PD=2，∴S_△PCD=1
設點M到平面PCD的距離為h，
則${V_{三棱錐M-PCD}}=\frac{1}{3}•{S_{△PCD}}•h=\frac{1}{3}×1×h=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，∴$h=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
故M到平面PCD的距離為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$（12分）

點評 本題考查幾何體的體積的求法，直線與平面平行的判定定理的應用，考查計算能力．