Question

在下列四個命題中：
①函數(shù)y=f（2x-1）的定義域為（-1，1），則f（x+1）的定義域為（-4，0）；
②函數(shù)f（x）=lnx+4x-13的零點一定位于區(qū)間（2，3）；
③函數(shù)f（x）=log 

1

2

（2x²-3x+1）的增區(qū)間是（-∞，

1

2

]；
④函數(shù)f（x）是定義域為[-1，1]的偶函數(shù)，且在[0，1]上遞增，而且f（x-1）＜f（2x-1），則x的取值范圍為（

2

3

，1]．
其中正確的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：運用函數(shù)的定義域的定義，結(jié)合一次不等式的解法，即可判斷①；
運用函數(shù)的零點存在定理，即可判斷函數(shù)的零點所在區(qū)間，即可判斷②；
運用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減，由對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性，即可得到遞增區(qū)間，即可判斷③；
運用偶函數(shù)的性質(zhì)有f（x-1）＜f（2x-1）即為f（|x-1|）＜f（|2x-1|），結(jié)合單調(diào)性，解不等式即可得到x的范圍，即可判斷④．

解答： 解：對于①，函數(shù)y=f（2x-1）的定義域為（-1，1），即有-3＜2x-1＜1，即為f（x）的定義域，
則對于y=f（x+1）有-3＜x+1＜1，解得-4＜x＜0，即f（x+1）的定義域為（-4，0），則①對；
對于②，函數(shù)f（x）=lnx+4x-13在x＞0上遞增，且f（2）=ln2-5＜0，f（3）=ln3-1＞0，
由零點存在定理可得f（x）的零點介于區(qū)間（2，3），則②對；
對于③，令t=2x²-3x+1（x＞1或x＜

1

2

），則y=log

1

2

t，由于t在（-∞，

1

2

）上遞減，y在t＞0上遞減，
則函數(shù)f（x）=log 

1

2

（2x²-3x+1）在（-∞，

1

2

）上遞增，則③錯；
對于④，由于函數(shù)f（x）是定義域為[-1，1]的偶函數(shù)，且在[0，1]上遞增，
則y=f（|x|）在{0，1]遞增，f（x-1）＜f（2x-1）即為f（|x-1|）＜f（|2x-1|），
即有

0≤|x-1|≤1 0≤|2x-1|≤1 |x-1|＜|2x-1|

，即

0≤x≤2 0≤x≤1 x＞ 2 3 或x＜0

，解得

2

3

＜x≤1．則④對．
故答案為：①②④．

點評：本題考查函數(shù)的定義域的求法、函數(shù)的零點的判斷和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的運用：解不等式，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題和易錯題．