Question

已知雙曲線x²-y²=2的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的動(dòng)直線與雙曲線相交與A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，0）．
（I）證明為常數(shù)；
（Ⅱ）若動(dòng)點(diǎn)（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，可設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，，由此可以求出為常數(shù)1．當(dāng)AB不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程是y=k（x-2）（k≠±1）．代入x²-y²=2，有（1-k²）x²+4k²x-（4k²+2）=0．再利用根與系數(shù)的關(guān)系能夠推導(dǎo)出也為常數(shù)1，
（Ⅱ）由條件知F（2，0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由題設(shè)條件知得，再由根與系數(shù)的關(guān)系和雙曲線的性質(zhì)推導(dǎo)點(diǎn)M的軌跡方程．
解答：（I）證明：由條件知F（2，0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，可設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，，
此時(shí)．
當(dāng)AB不與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線AB的方程是y=k（x-2）（k≠±1）．
代入x²-y²=2，有（1-k²）x²+4k²x-（4k²+2）=0．
則x₁，x₂是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以，，
于是=（k²+1）x₁x₂-（2k²+1）（x₁+x₂）+4k²+1==（-4k²-2）+4k²+1=-1．
綜上所述，為常數(shù)-1．
（II）證法一：由條件知F（2，0），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
設(shè)M（x，y），則，，，．由得：即
于是AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為．
當(dāng)AB不與x軸垂直時(shí)，，即．
又因?yàn)锳，B兩點(diǎn)在雙曲線上，所以x₁²-y₁²=2，x₂²-y₂²=2，兩式相減得（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂），即（x₁-x₂）（x+2）=（y₁-y₂）y．
將代入上式，化簡(jiǎn)得x²-y²=4．
當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，x₁=x₂=2，求得M（2，0），也滿足上述方程．
所以點(diǎn)M的軌跡方程是x²-y²=4．
證法二：同證法一得①
當(dāng)AB不與x軸垂直時(shí)，由（I）有．②．③
由①②③得．④．⑤
當(dāng)k≠0時(shí)，y≠0，由④⑤得，，將其代入⑤有．整理得x²-y²=4．
當(dāng)k=0時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2，0），滿足上述方程．
當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，x₁=x₂=2，求得M（2，0），也滿足上述方程．
故點(diǎn)M的軌跡方程是x²-y²=4．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的性質(zhì)及其運(yùn)用，解題時(shí)要熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系．