(1)選修4-4:矩陣與變換
已知曲線C1:y=
1
x
繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)45°后可得到曲線C2:y2-x2=2,
(I)求由曲線C1變換到曲線C2對應的矩陣M1;    
(II)若矩陣M2=
20
03
,求曲線C1依次經(jīng)過矩陣M1,M2對應的變換T1,T2變換后得到的曲線方程.
(2)選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
已知直線l的極坐標方程是ρcosθ+ρsinθ-1=0.以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為x軸的正半軸,建立平面直角坐標系,在曲線C:
x=-1+cosθ
y=sinθ
(θ為參數(shù))上求一點,使它到直線l的距離最小,并求出該點坐標和最小距離.
(3)(選修4-5:不等式選講)
將12cm長的細鐵線截成三條長度分別為a、b、c的線段,
(I)求以a、b、c為長、寬、高的長方體的體積的最大值;
(II)若這三條線段分別圍成三個正三角形,求這三個正三角形面積和的最小值.
分析:(1)(I)因為把曲線C1逆時針旋轉(zhuǎn)θ角,得到曲線C2,則旋轉(zhuǎn)變換矩陣為M1=
cos45°-sin45°
sin45°cos45°

(II)先求出依次經(jīng)過矩陣M1,M2對應的變換T1,T2對應的矩陣,再設曲線C1上任一點經(jīng)過變換后的對應點坐標,用變換后的坐標表示變換前的坐標,再代入變換前曲線滿足的方程,化簡即得變換后的曲線方程.
(2)先由直線l的極坐標方程求出直角坐標方程,設出曲線C上任意一點P坐標,用點到直線的距離公式求出點P到直線l的距離,再借助基本正弦函數(shù)的最值求出點P到直線l的最小距離.
(3)(I)因為長方體的體積為abc,而a+b+c=12,應用不等式abc≤(
a+b+c
3
)
3
,就可求出體積的最大值.
(II)先把三個正三角形的面積和用S=
3
4
(l2+m2+n2)
表示,因為l+m+n=4,而(l2+m2+n2)(12+12+12)≥(l+m+n)2,所以只需讓S乘3再除3即可變形成公式的形式,求出最值.
解答:解:(1)(I)∵曲線C1:y=
1
x
繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)45°后得到曲線C2:y2-x2=2,∴旋轉(zhuǎn)變換矩陣M1=
cos45° -sin45°
sin45°cos45°
=
2
2
-
2
2
2
2
2
2

(II)設依次經(jīng)過矩陣M1,M2對應的變換T1,T2對應的矩陣M=M2M1=
20
03
2
2
-
2
2
2
2
2
2
=
2
-
2
3
2
2
3
2
2

任取曲線C1:y=
1
x
上的一點P(x,y),它在變換TM作用下變成點P′(x′,y′),則有
x
y
=M
x
y
,即
x=
2
x-
2
y
y=
3
2
2
x+
3
2
2
y
,∴
x=
3x+2y
6
2
y=
2y-3x
6
2

又因為點P在C1:y=
1
x
上,得到
y
18
2
-
x
8
2
=1即
y
18
2
-
x
8
2
=1.
(2)∵直線l的極坐標方程是ρcosθ+ρsinθ-1=0,∴直角坐標方程是x+y-1=0
設所求的點為P(-1+cosθ,sinθ),則P到直線l的距離d=
|-1+cosθ+sinθ-1|
2
=|sin(θ+
π
4
)-
2
|
當θ+
π
4
=2kπ+
π
2
,k∈Z時,即θ=2kπ+
π
4
,k∈Z,d的最小值為
2
-1此時P(-1+
2
2
,
2
2
)

(3)(I)由已知得,a+b+c=12,∴V=abc≤(
a+b+c
3
)3
=64;
當且僅當a=b=c=4時,等號成立.
(II)設三個正三角形的邊長分別為l,m,n,則l+m+n=4
∴這三個正三角形面積和為S=
3
4
(l2+m2+n2)

∴3S=
3
4
(l2+m2+n2)(12+12+12)
3
4
(l+m+n)2=4
3

∴S≥
4
3
3

當且僅當a=b=c=1時,等號成立.
點評:本題(1)主要考查了曲線的旋轉(zhuǎn)變換矩陣的求法以及根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換求曲線方程,(2)考查了極坐標方程與直角坐標方程的互換,(3)考查了均值不等式和柯西不等式的應用.
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,求證:.

 

 

 

 

 

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