Question

9．已知過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點，斜率為2$\sqrt{2}$的直線交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）兩點，且AB=9．
（1）求該拋物線的方程；    
（2）求A，B兩點坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）直線AB的方程是y=2$\sqrt{2}$（x-$\frac{p}{2}$），與y²=2px聯(lián)立，由拋物線定義得AB=x₁+x₂+p=9，求出p，即可求該拋物線的方程；    
（2）利用（1）中的一元二次方程，即可求A，B兩點坐標(biāo)．

解答 解：（1）直線AB的方程是y=2$\sqrt{2}$（x-$\frac{p}{2}$），與y²=2px聯(lián)立，從而有4x²-5px+p²=0，所以x₁+x₂=$\frac{5p}{4}$．
由拋物線定義得AB=x₁+x₂+p=9，
所以p=4，從而拋物線方程是y²=8x．
（2）由題意，A在第四象限，B在第一象限．
由（1），方程為x²-5x+4=0，∴x=1或4，
x=1時，y=-2$\sqrt{2}$；x=4時，y=4$\sqrt{2}$
所以A，B兩點坐標(biāo)為A（1，-2$\sqrt{2}$），B（4，4$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．