Question

2．已知f（x）的圖象關于原點對稱，且當x∈（-∞，0）時，f（x）-xf′（x）＞0（其中f′（x）是f（x）的導函數(shù)），a=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}f（{0.5^{-0.5}}），b=（{log_3}π）f（{log_π}3）$，$c=（{log_9}\frac{1}{3}）f（{log_{\frac{1}{3}}}9）$，則下列關系式正確的是（　�。�

• A． c＞a＞b
• B． b＞a＞c
• C． a＞c＞b
• D． a＞b＞c

Answer 1

分析 由已知中f（x）-xf′（x）＞0，結合導數(shù)的運算性質（$\frac{u}{v}$）′=$\frac{1}{{v}^{2}}$（u′v-uv′），構造函數(shù)h（x）=$\frac{f（x）}{x}$，利用h′（x）的符號，判斷h（x）的單調性問題很容易解決．

解答 解：令h（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
∵f（x）的圖象關于原點對稱，∴h（x）是R上的奇函數(shù)，
又∵當x＜0時，f（x）-xf′（x）＞0，∴h′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＜0，
∴函數(shù)h（x）在x∈（-∞，0）時為單調遞減函數(shù)；
∴h（x）在x∈（0，+∞）時的單調性為單調遞減函數(shù)．a=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}f（{0.5^{-0.5}}），b=（{log_3}π）f（{log_π}3）$，$c=（{log_9}\frac{1}{3}）f（{log_{\frac{1}{3}}}9）$=$\frac{f（-2）}{-2}$，a=$\frac{f（\sqrt{2}）}{\sqrt{2}}$=$\frac{f（-\sqrt{2}）}{-\sqrt{2}}$；b=$\frac{f（-lo{g}_{π}3）}{-lo{g}_{π}3}$；-2＜$-\sqrt{2}$＜-log_π3
可得：c＞a＞b．
故選：A．

點評 本題考查的考點與方法有：1）所有的基本函數(shù)的奇偶性；2）抽象問題具體化的思想方法，構造函數(shù)的思想；3）導數(shù)的運算法則：（uv）′=u′v+uv′；4）指對數(shù)函數(shù)的圖象；5）奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性：奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性相同；偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性相反；5）奇偶函數(shù)的性質：奇×奇=偶；偶×偶=偶；奇×偶=奇（同號得正、異號得負）；奇+奇=奇；偶+偶=偶．本題結合已知構造出h（x）是正確解答的關鍵所在．