Question

（10分）已知函數

（Ⅰ）判斷函數的奇偶性，并加以證明；

（Ⅱ）用定義證明在上是減函數；

（Ⅲ）函數在上是單調增函數還是單調減函數？（直接寫出答案，不要求寫證明過程）．

 

Answer 1

（Ⅰ）函數為奇函數；（Ⅱ） 略；（Ⅲ）在（﹣1，0）上是減函數．

【解析】

試題分析：（Ⅰ） 首先求函數 定義域并驗證其定義域是否關于原點對稱，再根據奇函數的定義驗證 即證；（Ⅱ） 根據減函數的定義，證明當且 時，總有即證；（Ⅲ） 由（Ⅰ）可知函數為奇函數，其圖像關于原點對稱，得在（﹣1，0）上是減函數。

試題解析：（Ⅰ）函數為奇函數，理由如下：

易知函數的定義域為：，關于坐標原點對稱.

又

在定義域上是奇函數.

（Ⅱ）設且，則

∵0＜x1＜x2＜1，∴x1x2＜1，x1x2﹣1＜0，

又∵x2＞x1∴x2﹣x1＞0．

∴，即

因此函數在（0，1）上是減函數.

（Ⅲ）在（﹣1，0）上是減函數．

考點：1、奇、偶函數的判定方法；2、函數單調性的判定方法；3、函數的單調區(qū)間.