Question

如圖，一個正三棱柱的左（側(cè)）視圖是邊長為的正方形，則它的外接球的表面積等于

1. A.
   8π
2. B.
   π
3. C.
   9π
4. D.
   π

Answer 1

B
分析：由題意可得：正三棱柱的高是，底面正三角的高也是．設(shè)球心為O，半徑為R，△ABC的中心為G，所以△OGA是直角三角形，OG是高的一半，OG=，所以GA=．在△OAG中由勾股定理得：R²=．進(jìn)而得到答案．
解答：因為正三棱柱ABC-DEF的左視圖是邊長為的正方形，
所以正三棱柱的高是，底面正三角的高也是．
設(shè)它的外接球的球心為O，半徑為R，底面△ABC的中心為G，
所以△OGA是直角三角形，OG是高的一半，OG=，
GA是正三角形ABC的高的，
所以GA=．
在△OAG中由勾股定理得：R²=OG²+GA²
解得：R²=．
∴球的表面積為4πR²=．
故選B．
點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征與及球的定義，在球的內(nèi)接多面體中一般容易出現(xiàn)直角三角形，進(jìn)而利用勾股定理解決問題即可．