（本題滿分14分）

已知直線，圓.

（Ⅰ）證明：對任意，直線與圓恒有兩個公共點.

（Ⅱ）過圓心作于點，當變化時，求點的軌跡的方程.

（Ⅲ）直線與點的軌跡交于點，與圓交于點，是否存在的值，使得？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由.

 

【答案】

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）軌跡的方程為.

（Ⅲ）存在，使得且.

【解析】本試題主要是考查了直線與圓的位置關(guān)系的綜合運用。

解：（Ⅰ）方法1：圓心的坐標為，半徑為3…………………1分

圓心到直線距離………………2分

∴

∴即

∴直線與圓恒有兩個公共點……………………4分

方法2：聯(lián)立方程組…………………………1分

消去，得………………2分

∴直線與圓恒有兩個公共點………………………4分

方法3：將圓化成標準方程為.…1分

由可得：.

解得，所以直線過定點.……………3分

因為在圓C內(nèi)，所以直線與圓恒有兩個公共點.………………4分

（Ⅱ）設(shè)的中點為，由于°，

∴

∴點的軌跡為以為直徑的圓.………………7分

中點的坐標為，.

∴所以軌跡的方程為.………………9分

（Ⅲ）假設(shè)存在的值，使得.

如圖所示，

有，……10分

又，，

其中為C到直線的距離.……………12分

所以，化簡得.解得.

所以存在，使得且.……………………14分

 

練習(xí)冊系列答案
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（本題滿分14分
A．選修4-4：極坐標與參數(shù)方程在極坐標系中，直線l 的極坐標方程為θ=
π
3
 （ρ∈R ），以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，曲線C的參數(shù)方程為
x=2cosα
y=1+cos2α
 （α 參數(shù)）．求直線l 和曲線C的交點P的直角坐標．
B．選修4-5：不等式選講
設(shè)實數(shù)x，y，z 滿足x+y+2z=6，求x2+y2+z2 的最小值，并求此時x，y，z 的值．

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(本題滿分14分)

已知點是⊙：上的任意一點，過作垂直軸于,動點滿足。

（1）求動點的軌跡方程； 

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(本題滿分14分)已知函數(shù).

(1)求函數(shù)的定義域；

(2)判斷的奇偶性；

(3)方程是否有根?如果有根，請求出一個長度為的區(qū)間，使

；如果沒有，請說明理由?(注：區(qū)間的長度為).

 

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