Question

已知函數(shù)f(x)=

2x2+bx+c

x2+1

，(b＜0)的值域是[1，3]．
（1）求b，c；
（2）判斷函數(shù)F（x）=lgf（x）在[-1，1]上的單調(diào)性，并予以證明．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數(shù)的值域是[1，3]，利用判別式法，我們可以構(gòu)造出一個(gè)關(guān)于b，c的方程組，解方程組即可得到b，c的值；
（2）由（1）的結(jié)論我們易給出函數(shù)F（x）=lgf（x）的解析式，利用作差法，我們可以判斷出F（x₁）與F（x₂）的大小，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義，我們易判斷出函數(shù)F（x）=lgf（x）在[-1，1]上的單調(diào)性．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=

2x2+bx+c

x2+1

，(b＜0)的定義域?yàn)镽
令y=

2x2+bx+c

x2+1

，則y∈[1，3]
則（2-y）x²+bx+（c-y）=0一定有實(shí)根
即b²-4（c-y）（2-y）≥0
即4y²-（8+4c）y+8c-b²≤0
又∵[1，3]
∴1+3=

8+4c

4

，1×3=

8c-b2

4

解得b=-2，c=2
（2）由（1）得f(x)=

2x2-2x+2

x2+1

∴F（x）=lgf（x）=lg

2x2-2x+2

x2+1

任取區(qū)間[-1，1]上兩個(gè)數(shù)x₁，x₂且x₁＜x₂
則F（x₁）-F（x₂）=lg

2x12-2x1+2

x12+1

-lg

2x22-2x2+2

x22+1

∵

2x1 2-2x1+2

x1 2+1

=2+

-2x1

x1 2+1

，

2x2 2-2x2+2

x2 2+1

=2+

-2x2

x2 2+1

，
又外層函數(shù)是增函數(shù)，故比較

-2x2

x2 2+1

與

-2x1

x1 2+1

的大小即可
因?yàn)?span id="geoaaww" class="MathJye">lg

-2x1

x12+1

-lg

-2x2

x22+1

=lg

x1(x22+1)

(x12+1)x2

＞0
即F（x₁）＞F（x₂）
故函數(shù)F（x）=lgf（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明及函數(shù)值域的求法，其中利用判別式法構(gòu)造出一個(gè)關(guān)于b，c的方程組，求出b，c的值是解答本題的關(guān)鍵．