Question

8．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，∠ADC=90°，AD∥BC，平面PAD⊥底面ABCD，BC=$\frac{1}{2}$AD，PA=PD=AB=2，M，Q為AD，PC的中點(diǎn)
（Ⅰ）求證：CD∥平面MBQ；
 （Ⅱ）平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅲ）若直線PA與BC所成的角為60°，求直線MB與底面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （I）由Q為AD中點(diǎn)可知BC$\stackrel{∥}{=}$DQ，故而四邊形BCDQ是平行四邊形，于是CD∥BQ，得出CD∥平面MBQ；
（II）由∠ADC=90°得出四邊形BCDQ為矩形，于是BQ⊥AD，利用面面垂直的性質(zhì)得出BQ⊥平面PAD，從而有平面PQB⊥平面PAD；
（III）利用面面垂直得出PQ⊥平面ABCD，設(shè)BD，CQ交于點(diǎn)O，連結(jié)OM，則OM⊥平面ABCD，從而∠MBO為所求角，根據(jù)∠PAQ=60°依次計(jì)算PQ，OM，AQ，BQ，OB，得出tan∠MBO．

解答 證明：（I）∵AD∥BC，BC=$\frac{1}{2}$AD，Q為AD的中點(diǎn)，
∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD∥BQ．
∵BQ?平面MBQ，CD?平面MQB，
∴CD∥平面MBQ
（II）∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BQ⊥平面PAD．∵BQ?平面PQB，
∴平面PQB⊥平面PAD．
（ III）∵PA=PD，Q為AD的中點(diǎn)，
∴PQ⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
連結(jié)CQ，BD交于點(diǎn)O，則O為CQ的中點(diǎn)，
∴OM∥PQ，∴MO⊥平面ABCD．
∴∠MBO是直線MB與底面ABCD所成角，
∵BC∥AD，∴∠PAQ為直線PA與BC所成的角，即∠PAQ=60°，
∵PA=2，∴PQ=$\sqrt{3}$，AQ=DQ=1，∴BQ=$\sqrt{A{B}^{2}-A{Q}^{2}}$=$\sqrt{3}$，OM=$\frac{1}{2}PQ$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BD=$\sqrt{B{Q}^{2}+D{Q}^{2}}$=2，
∴OB=$\frac{1}{2}$BD=1，
∴tan∠MBQ=$\frac{OM}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴直線MB與底面ABCD所成角的正切值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面平行，面面垂直的性質(zhì)與判定，空間角的計(jì)算，屬于中檔題．