Question

如圖所示，圓柱底面的直徑AB長度為2，O為底面圓心，正三角形ABP的一個頂點P在上底面的圓周上，PC為圓柱的母線，CO的延長線交⊙O于點E，BP的中點為F．
（1）求證：平面ABP⊥平面ACF；
（2）求二面角F-CE-B的正切值．

Answer 1

（1）證明：正三角形ABP中，F(xiàn)為BP的中點，∴AF⊥PB …（1分）
∵PC為圓柱的母線，∴PC⊥平面ABC，
∵AC?平面ABC，∴PC⊥AC …（2分）
∵AB為圓O的直徑，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC …（3分）
∵PC∩BC=C，∴AC⊥平面PBC，…（4分）
∵PB?平面PBC，∴AC⊥=B …（5分）
∵AC∩AF=A，∴PB⊥平面ACF，…（6分）
∵PB?平面ABP，∴平面ABP⊥平面ACF；…（7分）
（2）解：由（1）知AC⊥BC，PC⊥AC，同理PC⊥BC，
∵PA=PB=AB=2，∴Rt△PAC≌Rt△PBC，
∴AC=BC=PC=2…（8分）
以C為原點，CA，CB，CP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則C（0，0，0），F(xiàn)（0，1，1），O（1，1，0），P（0，0，2）…（9分）
∵PC⊥平面ABC，∴為平面CEB的一個法向量…（10分）
設平面CEF的一個法向量，∵
∴，令y=-1，則 …（11分）
設二面角F-CE-B的平面角為θ，
∴cosθ==…（12分）
∴sinθ=，…（13分）
∴二面角F-CE-B的正切值tanθ== …（14分）
分析：（1）先證明AC⊥平面PBC，再證明PB⊥平面ACF，即可證明平面ABP⊥平面ACF；
（2）以C為原點，CA，CB，CP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，求出為平面CEB的一個法向量，平面CEF的一個法向量為，利用向量的夾角公式，即可求得二面角F-CE-B的正切值．
點評：本題考查面面垂直，考查面面角，解題的關鍵是掌握面面垂直的判定，利用空間向量求出平面的法向量，屬于中檔題．