Question

已知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，1），傾斜角α=

π

6

，和圓x²+y²=4相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）選擇恰當(dāng)?shù)膮��?shù)，寫(xiě)出直線(xiàn)l的參數(shù)方程，并求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)；
（2）求點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離之積．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)橹本�(xiàn)l經(jīng)過(guò)P，所以根據(jù)P的坐標(biāo)和已知的傾斜角寫(xiě)出直線(xiàn)的參數(shù)方程，求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)可用兩種方法，方法一：利用垂徑定理及勾股定理，由圓的半徑r及圓心到直線(xiàn)的距離d，即可求出|AB|的長(zhǎng)；方法二：把直線(xiàn)的參數(shù)方程代入圓的方程，化簡(jiǎn)后得到一個(gè)關(guān)于t的一元二次方程，利用韋達(dá)定理即可求出|AB|的長(zhǎng)；
（2）由（1）中的方法二中的關(guān)于t的一元二次方程得到兩個(gè)之積的值，求出絕對(duì)值即為點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)的距離之積．

解答：解：（1）直線(xiàn)的參數(shù)方程為

x=1+tcos π 6 y=1+tsin π 6

，即

x=1+ 3 2 t y=1+ 1 2 t

，
（法一）由圓的方程x²+y²=4得到圓心（0，0），半徑r=2，直線(xiàn)的普通方程為：x-

3

y+

3

-1=0
所以圓（0，0）到直線(xiàn)的距離d=

| 3 -1|

2

，所以|AB|=2

r2-d2

=2

22-( 3 -1 2 )2

=

12+2 3

；
（法二）把直線(xiàn)

x=1+ 3 2 t y=1+ 1 2 t

代入x²+y²=4，
得(1+

3

2

t)2+(1+

1

2

t)2=4，t2+(

3

+1)t-2=0，
∴

t1+t2=-( 3 +1) t1t2=-2

，∴|AB|=|t1-t2|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

12+2 3

；
（2）t₁t₂=-2，則點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離之積為|t₁t₂|=2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握并靈活運(yùn)用直線(xiàn)與圓的參數(shù)方程，利用運(yùn)用圓的垂徑定理、勾股定理及韋達(dá)定理化簡(jiǎn)求值，是一道綜合題．