Question

已知S_n是等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，b₁=

1

2

，a₅-1恰為S₄與

1

b2

的等比中項(xiàng)，圓C：（x-2n）²+（y-

Sn

）²=2n²，直線l：x+y=n，對(duì)任意n∈N^*，直線l都與圓C相切．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若對(duì)任意n∈N^*，c_n=a_nb_n，求{c_n}的前n項(xiàng)和T_n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,直線與圓

分析：（Ⅰ）由圓C：（x-2n）²+（y-

Sn

）²=2n²的圓心到直線l：x+y=n的距離等于半徑得到數(shù)列遞推式Sn=n2，n∈N^*，然后由an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，由a₅-1恰為S₄與

1

b2

的等比中項(xiàng)求得q=

1

2

，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）把數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式代入c_n=a_nb_n，由錯(cuò)位相減法求得{c_n}的前n項(xiàng)和T_n的值．

解答： 解：（Ⅰ） 圓C：（x-2n）²+（y-

Sn

）²=2n²的圓心為（2n，

Sn

），半徑為

2n

，對(duì)任意n∈N^*，直線l：x+y=n都與圓C：（x-2n）²+（y-

Sn

）²=2n²相切．
∴圓心（2n，

Sn

）到直線l：x+y-n=0的距離d為

2

n．
∴d=

|2n+ Sn -n|

2

=

2

n，得

Sn

=n．
∴Sn=n2，n∈N^*，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1．
綜上，對(duì)任意n∈N^*，a_n=S_n-S_n-1=2n-1．
設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，∴bn=b1qn-1=

1

2

qn-1，
a₅-1恰為S₄與

1

b2

的等比中項(xiàng)，a₅=9，S₆=16，b2=

1

2

q，
∴(9-1)2=64=16•

1

1 2 q

，解得q=

1

2

．
∴bn=b1qn-1=(

1

2

)n；
（Ⅱ）∵Tn=1•

1

21

+3•

1

22

+5•

1

23

+…+(2n-1)•

1

2n

，
∴

1

2

Tn=1•

1

22

+3•

1

23

+5•

1

24

+…+(2n-3)•

1

2n

+(2n-1)•

1

2n+1

．
兩式相減得

1

2

Tn=1•

1

2

+2•

1

22

+2•

1

23

+…+2•

1

2n

-(2n-1)•

1

2n+1

．
即：

1

2

Tn=

1

2

+(

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

)-(2n-1)•

1

2n+1

．
=

1

2

+

1 2 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-(2n-1)•

1

2n+1

．
=

1

2

+1-

1

2n-1

-(2n-1)•

1

2n+1

∴Tn=3-

1

2n-2

-(2n-1)•

1

2n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，考查了數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．