Question

已知橢圓C的焦點在x軸上，中心在原點，離心率e=

3

3

，直線l：y=x+2與以原點為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓O相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C的左、右頂點分別為A₁、A₂，點M是橢圓上異于A₁、A₂的任意一點，設(shè)直線MA₁、MA₂的斜率分別為K_MA1、K_MA2，證明K_MA1•K_MA2為定值；
（Ⅲ）設(shè)橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，A₁、A₂為長軸兩個端點，M為橢圓上異于A₁、A₂的點，K_MA1、K_MA2分別為直線MA₁、MA₂的斜率，利用上面（Ⅱ）的結(jié)論得K_MA1•K_MA2=

-

b

a

（只需直接填入結(jié)果即可，不必寫出推理過程）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)離心率e=

3

3

，直線l：y=x+2與以原點為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓O相切，建立方程，求出幾何量，從而可得橢圓方程；
（Ⅱ）由橢圓方程得A₁（-

3

，0），A₂（

3

，0），設(shè)M點坐標（x₀，y₀），表示出直線MA₁、MA₂的斜率分別為K_MA1、K_MA2，利用M再橢圓上，代入計算，可得K_MA1•K_MA2是定值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）的結(jié)論可得K_MA1•K_MA2=-

b2

a2

．

解答：（Ⅰ）解：∵離心率e=

3

3

，直線l：y=x+2與以原點為圓心，橢圓C的短半軸為半徑的圓O相切
∴

c

a

=

3

3

，b=

|0-0+2|

2

=

2

∴a=

3

∴橢圓方程為

x2

3

+

y2

2

=1           …（4分）
（Ⅱ）證明：由橢圓方程得A₁（-

3

，0），A₂（

3

，0），
設(shè)M點坐標（x₀，y₀），則

x02

3

+

y02

2

=1，∴y02=

2

3

(3-x02)
∵kMA1=

y0

x0+ 3

，kMA2=

y0

x0- 3

∴kMA1×kMA2=

y0

x0+ 3

×

y0

x0- 3

=-

2

3

∴K_MA1•K_MA2是定值                   …（10分）
（Ⅲ）解：K_MA1•K_MA2=-

b2

a2

       …（12分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，證明K_MA1•K_MA2為定值．解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，靈活運用橢圓性質(zhì)，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．