【題目】已知等差數(shù)列的前n項和為Sn,若為等差數(shù)列,且.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)是否存在正整數(shù), 使成等比數(shù)列?若存在,請求出這個等比數(shù)列;若不存在,請說明理由;
(3)若數(shù)列滿足,,且對任意的,都有,求正整數(shù)k的最小值.
【答案】(1);(2)3,9,27;(3)3
【解析】
(1)利用等差數(shù)列的通項和求和公式,再利用等差中項得,然后求得公差d=2,求出通項;
(2)假設(shè)存在,使得,,成等比數(shù)列,利用等比數(shù)列中項可得
法一:利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為零點問題求解;法二:直接解方程求解;得出n=1;
(3)根據(jù)題意由 可知,,然后用累加法和放縮法得
,再對n進(jìn)行討論,求得k的值.
(1)設(shè)等差數(shù)列的公差d,則,.
又是等差數(shù)列,所以,
即,解得d=2.
此時,,符合數(shù)列是等差數(shù)列,
所以.
(2)假設(shè)存在,使得,,成等比數(shù)列.
則,
由(1)可知,,代入上式,得
,
整理得.(*)
法一: 令,x≥1.
則,
所以在上單調(diào)增,
所以在上至少有一個根.
又,
故是方程(*)的唯一解.
所以存在,使得,,成等比數(shù)列,
且該等比數(shù)列為3,9,27.
法二:,即,
所以方程(*)可整理為.
因為,所以無解,故.
所以存在,使得,,成等比數(shù)列,
且該等比數(shù)列為3,9,27.
(3)由 可知,.
又,,故,所以.
依題意,對任意恒成立,
所以,即,故.
若,據(jù),可得
當(dāng),時,
.
由及可得.
所以,當(dāng),時,,即.
故當(dāng),時,,故不合題意.
若,據(jù),可得,即.
所以,當(dāng),時,,
當(dāng)時,,得,所以.
當(dāng),時,
,
所以,
故.
故當(dāng)時,對任意都成立.
所以正整數(shù)k的最小值為3.
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【題目】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若acos2+ccos2=b.
(1)求證:a,b,c成等差數(shù)列;
(2)若∠B=60°,b=4,求△ABC的面積.
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【題目】已知函數(shù)為常數(shù)).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)是的導(dǎo)函數(shù),若存在兩個極值點,求證:
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中.直線1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).在以坐標(biāo)原點為極點,x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中.曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ.
(1)若曲線C關(guān)于直線l對稱,求a的值;
(2)若A、B為曲線C上兩點.且∠AOB,求|OA|+|OB|的最大值.
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【題目】已知是橢圓的左右頂點,點為橢圓上一點,點關(guān)于軸的對稱點為,且.
(1)若橢圓經(jīng)過圓的圓心,求橢圓的方程;
(2)在(1)的條件下,若過點的直線與橢圓相交于不同的兩點,設(shè)為橢圓上一點,且滿足(為坐標(biāo)原點),當(dāng)時,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】為了解一種植物果實的情況,隨機抽取一批該植物果實樣本測量重量(單位:克),按照,,,,分為5組,其頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求圖中的值;
(2)估計這種植物果實重量的平均數(shù)和方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(3)已知這種植物果實重量不低于32.5克的即為優(yōu)質(zhì)果實,用樣本估計總體.若從這種植物果實中隨機抽取3個,其中優(yōu)質(zhì)果實的個數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若直線是函數(shù)圖象的切線,求的最小值;
(3)當(dāng)時,若直線是函數(shù)圖象有兩個交點,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】某人沿固定路線開車上班,沿途共有個紅綠燈,他對過去個工作日上班途中的路況進(jìn)行了統(tǒng)計,得到了如表的數(shù)據(jù):
上班路上遇見的紅燈數(shù) | ||||||
天數(shù) |
若一路綠燈,則他從家到達(dá)公司只需用時分鐘,每遇一個紅燈,則會多耗時分鐘,以頻率作為概率的估計值
(1)試估計他平均每天上班需要用時多少分鐘?
(2)若想以不少于的概率在早上點前(含點)到達(dá)公司,他最晚何時要離家去公司?
(3)公司規(guī)定,員工應(yīng)早上點(含點)前打卡考勤,否則視為遲到,每遲到一次,會被罰款元.因某些客觀原因,在接下來的個工作日里,他每天早上只能從家出發(fā)去公司,求他因遲到而被罰款的期望.
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