例5.設(shè)f(x)=x2+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|x=f[f(x)]},
(1)求證:A∪B=B;
(2)如果A={-1,3},求B.
分析:(1)分析題意,要證A∪B=B,只需證明A⊆B即可,先設(shè)x∈A,根據(jù)題意,易得f[f(x)]=f(x)=x,易得x∈B,進(jìn)而可得A⊆B,即可得證.
(2)根據(jù)題意,A={-1,3},即x=x2+px+q有兩根-1,3;根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得p、q的值,即可得f(x)的解析式,代入
x=f[f(x)]可得方程式,解可得B.
解答:解:(1)證明,設(shè)x∈A,
那么,根據(jù)A的定義,f(x)=x.
所以,f[f(x)]=f(x)=x.
所以x∈B.
從而A⊆B,故有A∪B=B;
(2)A={-1,3},即x=x2+px+q有兩根-1,3;
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得,-1+3=-(p-1),則p=-1,
(-1)×3=q,則q=-3;
故f(x)=x2-x-3,
代入x=f[f(x)]可得,[x2-x-3]2-(x2-x-3)-3=x,
化簡(jiǎn)可得,x2-x-3=-1,x2-x-3=3,
解可得,x=3,-1,
3
,-
3

即B={3,-1,
3
,-
3
}.
點(diǎn)評(píng):本題考查集合的運(yùn)算,首先要認(rèn)清集合的意義,如本題中兩個(gè)集合是方程的解集.
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