Question

已知函數(shù)f（x）=x³-x²+ax+b
（I）當a=-1時，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間：
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象過點（1，1）且極小值點在區(qū)間（1，2）內，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求單調區(qū)間，先求導，令導函數(shù)大于0和小于0即可；
（Ⅱ）由函數(shù)f（x）的圖象過點（1，1）可得出a，b的數(shù)量關系，函數(shù)f（x）極小值點在區(qū)間（1，2）內，說明f′（x）=0有一根在（1，2）內，又知f′（x）對稱軸為x=

1

3

＜1，圖象開口向上，可得f（1）f（2）＜0，求出a的范圍，就可得出 b的范圍．

解答：解：（I）當a=-1時，f′（x）=3x²-2x-1=（3x+1）（x-1）
令f'（x）＞0，
解得x＜-

1

3

或x＞1，
令f'（x）＜0，解得-

1

3

＜x＜1
∴f（x）的單調遞增區(qū)間為（-∞，-

1

3

），（1，+∞），f（x）的單調遞減區(qū)間為 （-

1

3

，1）
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）的圖象過點（1，1）
∴a+b=1即b=1-a
∴f（x）=x³-x²+ax+1-a則f′（x）=3x²-2x+a
由題意知3x²-2x+a=0有兩個不等實根且大根在區(qū)間（1，2）內
又∵f′（x）對稱軸為x=

1

3

＜1
∴f（1）f（2）＜0即（a+1）（a+8）＜0
∴-8＜a＜-1
∴b的范圍是（2，9）．

點評：本題考查函數(shù)單調性的判斷和已知函數(shù)極值點求參數(shù)的范圍，求參數(shù)范圍，注意用函數(shù)的思想，借助函數(shù)的圖象，易于理解，化難為易，此題綜合性較強．