Question

17．已知函數(shù)$f（x）=ax+{log_2}（{2^x}+1）$，其中a∈R．
（1）根據(jù)a的不同取值，討論f（x）的奇偶性，并說(shuō)明理由；
（2）已知a＞0，函數(shù)f（x）的反函數(shù)為f^-1（x），若函數(shù)y=f（x）+f^-1（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為1+log₂3，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）由$f（x）=ax+{log_2}（{2^x}+1）$得f（-x）=-ax+log₂（2^x+1）-x，從而可得當(dāng)a=$-\frac{1}{2}$時(shí)函數(shù)為偶函數(shù)；
（2）可判斷$f（x）=ax+{log_2}（{2^x}+1）$與f^-1（x）都是增函數(shù)，從而可得f（1）+f^-1（1）=1+log₂3，從而解出a．

解答 解：（1）∵$f（x）=ax+{log_2}（{2^x}+1）$，
∴f（-x）=-ax+log₂（2^-x+1）
=-ax+log₂（2^x+1）-log₂2^x
=-ax+log₂（2^x+1）-x，
∴f（-x）=f（x），
即-ax-x=ax，
故a=$-\frac{1}{2}$；此時(shí)函數(shù)為偶函數(shù)，
若a≠-$\frac{1}{2}$，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)；
（2）∵a＞0，
∴$f（x）=ax+{log_2}（{2^x}+1）$單調(diào)遞增，
又∵函數(shù)f（x）的反函數(shù)為f^-1（x），
∴f^-1（x）單調(diào)遞增；
∴f（1）+f^-1（1）=1+log₂3，
即a+log₂3+f^-1（1）=1+log₂3，
故f^-1（1）=1-a，
即a（1-a）+log₂（2^a-1+1）=1，
解得，a=1；
故f（2）=2+log₂5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)與反函數(shù)，同時(shí)考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與化簡(jiǎn)運(yùn)算能力．