Question

15．若實數(shù)x，y滿足x²+y²-2$\sqrt{3}$x-2y+3=0，則x²+y²的取值范圍是[1，9]，$\frac{y}{x}$的取值范圍是[0，$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 ①把方程x²+y²-2$\sqrt{3}$x-2y+3=0化為${（x-\sqrt{3}）}^{2}$+（y-1）²=1，得出圓心與半徑，求出圓心C到原點O的距離為d＞r，從而求出x²+y²的取值范圍；
②設(shè)$\frac{y}{x}$=k，即kx-y=0，利用直線與圓相切時d=r，列出方程求出k的值，即得$\frac{y}{x}$的取值范圍．

解答 解：①實數(shù)x，y滿足x²+y²-2$\sqrt{3}$x-2y+3=0，
∴${（x-\sqrt{3}）}^{2}$+（y-1）²=1，
∴圓心坐標(biāo)為C（$\sqrt{3}$，1），半徑r=1，
則圓心C到原點O的距離為：
d=$\sqrt{{（\sqrt{3}）}^{2}+1}$=2＞r，
則x²+y²的取值范圍是[（d-r）²，（d+r）²]，即[1，9]；
②設(shè)$\frac{y}{x}$=k，即kx-y=0，
由圓心與半徑得：
當(dāng)直線與圓相切時，圓心到切線的距離d=r，即$\frac{|\sqrt{3}k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
解得：k=0或k=$\sqrt{3}$，
則$\frac{y}{x}$的取值范圍是[0，$\sqrt{3}$]．
故答案為：[1，9]，[0，$\sqrt{3}$]．

點評 本題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識有：點到直線的距離公式，直線與圓相切時滿足的條件，利用了轉(zhuǎn)化的思想，求出直線與圓相切時斜率的值是解本題的關(guān)鍵．