已知直角梯形PDCB中（如圖1），PD=2，DC=BC=1，A為PD的中點(diǎn)，
將△PAB沿AB折起，使面PAB⊥面ABCD（如圖2），點(diǎn)F在線段PD上，PF=2FD．
（1）求異面直線BP與CF所成角的余弦值；
（2）求二面角D-AC-F的余弦值；
（3）在四棱錐P-ABCD的棱PC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面AFC，若存在，求出E點(diǎn)的位置，若不存在，請說明理由．
考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,異面直線及其所成的角,直線與平面垂直的性質(zhì)
專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（1）由已知得PA⊥AB，從而PA⊥面ABCD，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線BP與CF所成角的余弦值．
（2）由已知，得
AP
=(0，0，1)為平面ACD的法向量，求出平面AFC的法向量，利用向量法能求出二面角D-AC-F的余弦值．
（3）法一：連接BD，交AC于O，取PF中點(diǎn)G，連BG，EG，F(xiàn)O，由已知得EG∥FC，OF∥BG，從而得到BE∥平面AFC．
（3）法二：假設(shè)在四棱錐P-ABCD的棱PC上存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面AFC，設(shè)CE=λCP，由
BE
=
BC
+
CE
，得
BE
=（-λ，1-λ，λ），由此利用向量法能推導(dǎo)出存在PC的中點(diǎn)E，使得BE∥平面AFC．
解答： （本小題滿分14分）
解：（1）依題意知：PA⊥AB．
又∵面PAB⊥面ABCD，面PAB∩面ABCD=AB，PA?面PAB，
∴PA⊥面ABCD．…（2分）
又∵AD⊥AB．∴以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，…（3分）
則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），
D（0，1，0），P（0，0，1）．…（4分）
由于
PF
=2
FD
，
∴
AF
=
AP
+
2
3
PD
=(0，0，1)+(0，
2
3
，-
2
3
)=(0，
2
3
，
1
3
)，
即F(0，
2
3
，
1
3
)．…（5分）
∴
BP
=(-1，0，1)，
CF
=(-1，-
1
3
，
1
3
)．
∴cos＜
BP
，  
CF
＞=
BP
•
CF
|BP
|•|
CF
|
=
4
3
2
•
11
9
=
2
22
11
．…（6分）
（2）由已知，得
AP
=(0，0，1)為平面ACD的法向量．…（7分）
設(shè)平面AFC的法向量為
n
=(x，y，z)，
則
n
•
AC
=0
n
•
AF
=0
，即
x+y=0
2
3
y+
1
3
z=0
，…（8分）
令z=2，則x=1，y=-1，即
n
=(1，-1，2)．…（9分）
二面角D-AC-F的平面角為θ，
則cosθ=
n
•
AP
|
n
||
AP
|
=
2
6
=
6
3
．…（10分）
（3）方法一：存在PC的中點(diǎn)E，使得：BE∥平面AFC，
證明如下：
連接BD，交AC于O，取PF中點(diǎn)G，連BG，EG，F(xiàn)O．
在△PCF中，E，G分別為PC，PF中點(diǎn)，則EG∥FC．…（11分）
在△BDG中，O，F(xiàn)分別為BD，DG中點(diǎn)，則OF∥BG．…（12分）
所以平面BEG∥平面FAC．
又BE?平面BEG，
所以BE∥平面AFC．…（14分）
方法二：假設(shè)在四棱錐P-ABCD的棱PC上存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面AFC，
不妨設(shè)：CE=λCP，…（11分）
由
BE
=
BC
+
CE
，得
BE
=（-λ，1-λ，λ）．…（12分）
由（2）知平面AFC的法向量
n
=(1，-1，2)，
由
BE
•
n
=0得λ=
1
2
．…（13分）
故存在PC的中點(diǎn)E，使得BE∥平面AFC．…（14分）
點(diǎn)評：本題考查異面直線BP與CF所成角的余弦值的求法，考查二面角D-AC-F的余弦值的求法，考查在四棱錐P-ABCD的棱PC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面AFC的判斷與證明，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)雙曲線的一個焦點(diǎn)為F，虛軸的一個端點(diǎn)為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為（　�。�
A、
3
+1
2
B、
5
+1
2
C、
2
D、
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某大學(xué)的四位學(xué)生參加了志愿者活動，他們從甲、乙、丙三個比賽項目中，任選一項進(jìn)行志愿者服務(wù)，每個項目允許有多人服務(wù)，假設(shè)每位學(xué)生選擇哪項是等可能的．
（1）求這四位學(xué)生中至少有一位選擇甲項目的概率；
（2）用隨機(jī)變量ξ表示四位學(xué)生選擇丙項目的人數(shù)，求其分布列和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）中，F(xiàn)1、F2分別是其左右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P使得|PF1|-2|PF2|=a，則該橢圓的離心率的取值范圍是（　�。�
A、（
2
3
，1）
B、（0，
2
3
]
C、[
1
3
，1）
D、[
2
3
，1）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=3sinx-log 
1
2
x零點(diǎn)的個數(shù)為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)
a
、
b
不共線，
c
=2
a
-
b
，
d
=3
a
-2
b
，試判斷
c
、
d
能否作為基底．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知在直三棱柱ABO-A1B1O1中，OO1=4，OA=4，OB=3，∠AOB=90°，點(diǎn)D是線段A1B1的中點(diǎn)，點(diǎn)P是側(cè)棱BB1上一點(diǎn)，若O1P與平面AOB所成的角正切值為
3
8
．
（1）求證：OP⊥BD；
（2）求二面角D-OP-B的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知不同的平面α、β和不同的直線m、n，有下列四個命題
①若m∥n，m⊥α，則n⊥α；
②若m⊥α，m⊥β，則α∥β；
③若m⊥α，m∥n，n?β，則α⊥β；
④若m∥α，α∩β=n，則m∥n，
其中正確命題的個數(shù)是（　�。�
A、4個B、3個C、2個D、1個

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=-x（x-a）2（x∈R），其中a∈R．
（1）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（2）當(dāng)a≠0時，求函數(shù)f（x）的極大值和極小值；
（3）當(dāng)a=3時，函數(shù)圖象與直線y=m有三個交點(diǎn)，求實數(shù)m的取值范圍．

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同步練習(xí)冊答案