Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=

2

，E為PD上一點(diǎn)，PE=2ED．
（1）求證：PA⊥平面ABCD．
（2）求二面角D-AC-E的正切值．
（3）在側(cè)棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使得BF∥平面AEC，若存在，指出F點(diǎn)位置，并證明，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意及圖形利用線面垂直的判定定理即可得證；
（2）由于PA⊥平面ABCD，點(diǎn)E在PD線上，所過(guò)E作EG∥PA交AD于G，從而EG⊥平面ABCD，再利用三垂線定理或即可作出二面角的平面角；
（3）因?yàn)镻A，AB，AD兩兩垂直，所以可以建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)PC存在一點(diǎn)，F(xiàn)使得BF∥平面AEC，利用方程的思想求解即可．

解答：（1）證明：∵PA=AD=1，PD=

2

∴PA²+AD²=PD²即PA⊥AD
又∵PA⊥CD．AD∩CD=D
∴PA⊥平面ABCD
（2）解：過(guò)E作EG∥PA交AD于G，從而EG⊥平面ABCD′且AG=2GD．EG=

1

3

，PA=

1

3

．連接BD交AC于O，過(guò)G作GH∥OD交AC于H．
連接EH．∵GH⊥AC∴EH⊥AC
∴∠EHG為二面角D-AC-E的平面角．
∵HG=

2

3

OD=

2

3

．
∴tan∠EHG=

EG

GH

=

2

2

．
（3）解：因?yàn)镻A，AB，AD兩兩垂直，所以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，Z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則A（0，0，0）B（1，0，0）C（1，1，0）P（0，0，1）E（0，

2

3

，  

1

3

）

AC

=(1，1，0)   

AE

=(0，

2

3

  

1

3

)
設(shè)平面AEC的法向量

n

=(x，y，z)，則

n

=

n • AC =0 n • AE =0

即

x+y=0 2y+z=0

令y=1，則

n

=(-1，1，-2)
假設(shè)PC存在一點(diǎn)F且

CF

=λ

CP

（0≤λ≤1），使得BF∥平面AEC則

BF

•

n

=0．
又∵

BF

=

BC

+

CF

=（0，1，0）+（-λ，-λ，λ）=（-λ，1-λ，λ）
∴

BF

•

n

=λ+1-λ-2λ=0∴λ=

1

2

∴存在P的中點(diǎn)F，使得BF∥平面AEC．

點(diǎn)評(píng)：（1）此問(wèn)重點(diǎn)考查了利用計(jì)算證明線線垂直，還考查了線面垂直的判定定理的準(zhǔn)確使用；
（2）此問(wèn)重點(diǎn)考查了利用三垂線定理求其二面角的平面角，并考查了求角的大小放到三角形中進(jìn)行求解；
（3）此問(wèn)重點(diǎn)考查了利用空間向量的方法及假設(shè)存在于方程的思想進(jìn)行求解的方法．