Question

四棱錐P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD．底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3．點E在棱PA上，且PE=2EA．
（Ⅰ）求異面直線PA與CD所成的角；
（Ⅱ）求證：PC∥平面EBD；
（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大�。�（用反三角函數(shù)表示）．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定

專題：

分析：（1）以B為原點，BA為x軸，BC為y軸，BP為z軸，建立如圖所示的直角坐標系B-xyz，利用向量法能求出異面直線CD與AP所成的角．
（2）連結(jié)AC交BD于G，連結(jié)EG，由已知得PC∥EG，由此能證明PC∥平面EBD．
（3）求出平面BED的法向量和平面ABE的法向量，利用向量法能求出二面角A-BE-D的大小．

解答： （本小題滿分12分）
（1）解：以B為原點，BA為x軸，BC為y軸，BP為z軸，
建立如圖所示的直角坐標系B-xyz．
設BC=a，則A（0，3，0），P（0，0，3），
D（3，3，0），C（a，0，0），

CD

=(3-a，3，0)，

PD

=(3，3，-3)，
∵CD⊥PD，∴

CD

•

PD

=0，
即3（3-a）+9=0．∴a=6．…（2分）
∵

CD

=(-3，3，0)，

PA

=(0，3，-3)，
∴cos＜

PA

，

CD

＞=

CD • PA

| CD |•| PA |

=

9

3 2 ×3 2

=

1

2

．
∴異面直線CD與AP所成的角為60°．…（4分）
（2）證明：連結(jié)AC交BD于G，連結(jié)EG．
∴

AG

GC

=

AD

BC

=

1

2

，又

AE

EP

=

1

2

，∴

AG

GC

=

AE

EP

．…（5分）
∴PC∥EG…（6分）又EG?平面EBD，PC?平面EBD，
∴PC∥平面EBD…（8分）
（3）解：設平面BED的法向量為

n1

=（x，y，z），

BE

=(0，2，1)，

BD

=(3，3，0)，
由

n1 • BE =0 n1 • BD =0

得

2y+1=0 3x+3y=0

所以，

x= 1 2 y=- 1 2 .

于是，

n1

=(

1

2

，-

1

2

，1)…（10分）
又因為平面ABE的法向量

n

=(1，0，0)，
所以，cos＜

n1

，

n2

＞=

1

6

=

6

6

．
所以，二面角A-BE-D的大小為arccos

6

6

．…（12分）

點評：本題主要考查直線與平面之間的平行、垂直等位置關系，空間向量、二面角的概念、求法等知識，以及空間想象能力和邏輯推理能力．