Question

在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設S為△ABC的面積，且滿足S=

3

12

（a²+b²-c²）
（1）求角C的大��；
（2）求角A的范圍；
（3）求cosA+sinB的范圍．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）利用余弦定理列出關系式，代入已知等式中，并利用三角形面積公式化簡求出tanC得到值，根據(jù)C的范圍求出C的度數(shù)即可；
（2）由C的度數(shù)，得到A+B的度數(shù)，用A表示出B，求出A的范圍即可；
（3）將表示出的B代入cosA+sinB中，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可確定出范圍．

解答： 解：（1）由余弦定理知a²+b²-c²=2abcosC，
∴

1

2

absinC=

3

12

×2abcosC，
∴tanC=

3

3

，
∵C∈（0，π），
∴C=

π

6

；
（2）∵B=

5π

6

-A，
∴

0＜ 5π 6 -A＜ π 2 0＜A＜ π 2

，
解得：

π

3

＜A＜

π

2

；
（3）cosA+sinB=cosA+sin（

5π

6

-A）=

3

sin（A+

π

3

），
∵

π

3

＜A＜

π

2

，
∴

2π

3

＜A+

π

3

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin（A+

π

3

）＜

3

2

，
則

3

2

＜

3

sin（A+

π

3

）＜

3

2

，
即cosA+sinB的范圍為（

3

2

，

3

2

）．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及正弦函數(shù)的值域，熟練掌握定理是解本題的關鍵．