Question

已知雙曲線的離心率為，右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)M（1，0）且斜率為1的直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，并且．
（1）求雙曲線方程；
（2）過右焦點(diǎn)F作直線l交雙曲線C右支于P，Q兩點(diǎn)，問在原點(diǎn)與右頂點(diǎn)之間是否存在點(diǎn)N，使的無論直線l的傾斜角多大，都有∠PNF=∠QNF．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意可分別求得a和b，a和c的關(guān)系代入雙曲線的方程，設(shè)出A，B的坐標(biāo)利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進(jìn)而利用直線方程求得y₁y₂的表達(dá)式，進(jìn)而利用得關(guān)于a的方程求得a，則b可求．則橢圓的方程可得．
解答：解：（1）由題意知b²=2a²，c²=3a²，代入雙曲線得x²+2x-1-2a²=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有x₁+x₂-2，x₁x₂=-2a²1，y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1=-2a²+2．
又，則，，
得，
∴，
∴，方程為．
（2）直線l：y=k（x-3），．設(shè)P（x，y），Q（x₃，y₃），N（x₄，y₄），
聯(lián)立方程得（2-k²）x²+6k²x-9k²-6=0，
得，，，．
∵∠PNF=∠QNF，
∴k_PN+k_QN=+=，
∴，所以存在點(diǎn)N．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學(xué)生分析問題和推理能力，基本的運(yùn)算能力．