Question

已知橢圓C：的離心率為，橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知動直線y=k（x+1）與橢圓C相交于A、B兩點，若線段AB中點的橫坐標(biāo)為，求斜率k的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意，滿足a²=b²+c²，，…（3分）
解得，則橢圓方程為…（6分）
（Ⅱ）將y=k（x+1）代入中得（1+3k²）x²+6k²x+3k²-5=0…（8分）
△=36k⁴-4（3k²+1）（3k²-5）=48k²+20＞0，所以…（10分）
因為AB中點的橫坐標(biāo)為，所以，解得…（12分）
分析：（Ⅰ）利用橢圓的離心率為，橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為，建立方程，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）將y=k（x+1）代入橢圓方程，利用韋達定理，及線段AB中點的橫坐標(biāo)為，可求斜率k的值．
點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．