Question

已知函數，x∈R其中a＞0．
（1）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）若函數f（x）在區(qū)間（-2，0）內恰有兩個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求函數的導函數，找出導函數的零點，把定義域由零點分成幾個區(qū)間判斷導函數在各區(qū)間內的符號，從而得到原函數在個區(qū)間內的單調性；
（2）根據（1）中秋出的單調區(qū)間，說明函數在區(qū)間（-2，-1）內單調遞增，在區(qū)間（-1，0）內單調遞減，結合函數零點和方程根的轉化列式可求a的范圍．
解答：解：由，得f^′（x）=x²+（1-a）x-a=（x+1）（x-a）
由f^′（x）=0，得x₁=-1，x₂=a＞0．
當x∈（-∞，-1）時，f^′（x）＞0，f（x）為增函數，
當x∈（-1，a）時，f^′（x）＜0，f（x）為減函數，
當x∈（a，+∞）時，f^′（x）＞0，f（x）為增函數．
故函數f（x）的增區(qū)間是（-∞，-1），（a，+∞）；減區(qū)間為（-1，a）．
（2）由（1）知f（x）在區(qū)間（-2，-1）內單調遞增，在區(qū)間（-1，0）內單調遞減，
從而函數f（x）在區(qū)間（-2，0）內恰有兩個零點當且僅當解得0＜a＜．
所以a的取值范圍是（0，）．
點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，考查分類討論的數學思想方法，會利用導數研究函數的單調區(qū)間以及根據函數的增減性得到函數的最值．掌握不等式恒成立時所取的條件．