Question

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

2

=1(a＞0)的左右焦點分別為F₁、F₂，A是橢圓C上的一點，且

AF2

•

F1F2

=0，坐標原點O到直線AF₁的距離為

1

3

|OF1|．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)Q是橢圓C上的一點，過點Q的直線l交x軸于點F（-1，0），交y軸于點M，若|MQ|=2|QF|，求直線l的斜率．

Answer 1

分析：（1）題設(shè)知F₁和F₂的坐標，根據(jù)

AF2

•

F1F2

=0，推斷有

AF2

⊥

F1F2

，設(shè)點A的坐標為根據(jù)原點O到直線AF₁的距離求得a，進而求得b．答案可得．
（2）設(shè)直線斜率為k，則直線l的方程為y=k（x+1），設(shè)Q（x₁，y₁），由于Q，F(xiàn)，三點共線，且|MQ|=|2QF|．進而可得（x₁，y₁-k）=±2（x₁+1，y），求得x₁和y₁，代入橢圓方程即可求得k，進而得到直線斜率．

解答：解：（1）由題設(shè)知F₁（-

a2-2

，0），F(xiàn)₂（

a2-2

，0），其中a＞

2

由于

AF2

•

F1F2

=0，則有

AF2

⊥

F1F2

，所以點A的坐標為（

a2-2

，±

2

a

）
故AF₁所在直線方程為y=±（

x

a a2-2

+

1

a

），所以坐標原點O到直線AF₁的距離為

a2-2

a2-1

，
又|OF₁|=

a2-2

，所以

a2-2

a2-1

=|=

1

3

a2-2

，解得：a=2．
∴所求橢圓的方程為

x2

4

+

y2

2

 =1．
（2）由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線斜率為k，則直線l的方程為y=k（x+1），故M（0，k）．
設(shè)Q（x₁，y₁），由于Q，F(xiàn)，三點共線，且|MQ|=|2QF|．
根據(jù)題意得（x₁，y₁-k）=±2（x₁+1，y₁），解得

x1=-2 y1=-k

或

x1=- 2 3 y1= k 3

又Q在橢圓C上，故

4

4

+

k2

2

=1或

4 9

4

+

( k 3 )2

3

=1，
解得k=0，k=±4，綜上，直線的斜率為0或±4

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程和直線與橢圓的關(guān)系．常需要直線方程和橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達定理求得問題．