Question

某地區(qū)位于沙漠邊緣地帶，到2010年年底該地區(qū)的綠化率只有30%，計劃從2011年開始加大沙漠化改造的力度，每年原來沙漠面積的16%將被植樹改造為綠洲，但同時原有綠洲面積的4%還會被沙漠化．設該地區(qū)的面積為1，2010年年底綠洲面積為a₁=，經過一年綠洲面積為a₂，…，經過n年綠洲面積為a_n+1，
（1）求經過n年綠洲面積a_n+1的通項公式；
（2）至少需要經過多少年努力，才能使該地區(qū)的綠洲面積超過60%？（取lg 2=0.3）

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，a_n+1由兩部分組成，一部分是原有的綠洲面積減去沙漠化剩下的面積，另一部分是新植樹綠洲化的面積，由此可得數列遞推式，進而可求數列的通項；
（2）利用（1）的結論建立不等式，由此可得結論．
解答：解：（1）設2010年年底沙漠面積為b₁，經過n年治理后沙漠面積為b_n+1，則a_n+b_n=1．
依題意，a_n+1由兩部分組成，一部分是原有的綠洲面積減去沙漠化剩下的面積，a_n-4%a_n=96%a_n，另一部分是新植樹綠洲化的面積16%b_n，
于是a_n+1=96%a_n+16%b_n=96%a_n+16%（1-a_n）=80%a_n+16%=a_n+．
由于a_n+1=a_n+兩邊減去得：a_n+1-=（a_n-）
又a₁-=- 
所以{a_n-}是以-為首項，為公比的等比數列．
所以a_n+1=-；
（2）依題意，-＞60%，∴＜，
兩邊取對數得n＞====4．
故至少需要5年才能達到目標．
點評：本題考查利用數列知識解決實際問題，考查數列遞推式，考查數列的通項，考查學生的計算能力，屬于中檔題．