如圖,已知四棱錐E-ABCD的底面為菱形,且∠ABC=60°,AB=EC=2,AE=BE=

(1)求證:平面EAB⊥平面ABCD
(2)求二面角A-EC-D的余弦值
(1)先證EO⊥平面ABCD即可得證  (2)

試題分析:(1)證明:取AB的中點(diǎn)O,連接EO,CO
△AEB為等腰直角三角形
∴EO⊥AB,EO=1
又∵AB=BC,∠ABC=60°,∴△ABC是等邊三角形,
,又
∵EO⊥平面ABCD,又EO平面EAB,∴平面EAB⊥平面ABCD
(2)以AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),OB所在直線為y軸,OE所在直線為z軸,如圖建系則
,,
(0,2,0)

設(shè)平面DCE的法向量為,則,即,解得:

同理求得平面EAC的一個(gè)法向量為
,所以二面角A-EC-D的余弦值為
點(diǎn)評:本題給出特殊四棱錐,求證面面垂直并求二面角的余弦值,著重考查了空間線面垂直、
面面垂直的判定與性質(zhì)和利用空間向量的方法求面面所成角的知識,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

如圖所示,點(diǎn)P在正方形ABCD所在平面外,PA⊥平面ABCD,PA=AB,則PB與AC所成的角是(  )
A.90°  B.60° 
C.45°  D.30°

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

如圖,平面α⊥平面β,AαBβ,AB與平面α所成的角為,過A、B分別作兩平面交線的垂線,垂足為A′、B′,若,則AB與平面β所成的角的正弦值是(   )
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

在正三棱柱中,若AB=2,則點(diǎn)A到平面的距離為(  )
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

設(shè)是直線,是兩個(gè)不同的平面,下列命題成立的是(    )
A.若,則
B.若,則
C.若,, 則
D.若,則

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

如圖所示,正方體的棱長為1,O是平面的中心,則O到平面的距離是(   )
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,已知兩個(gè)正方形ABCD 和DCEF不在同一平面內(nèi),且平面ABCD ⊥平面DCEF,M,N分別為AB,DF的中點(diǎn)。

(1)求直線MN與平面ABCD所成角的正弦值;
(2)求異面直線ME與BN所成角的余弦值。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,三棱柱的所有棱長都為2,中點(diǎn),平面

(1)求證:平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)求點(diǎn)到平面的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本小題滿分12分)
在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F為棱AD、AB的中點(diǎn).

(1)求證:EF∥平面CB1D1
(2)求證:平面CAA1C1⊥平面CB1D1

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