Question

如圖，已知橢圓

x2

25

+

y2

16

=1的右焦點(diǎn)為F₂，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，圓M是以PF₂為直徑的圓．
（Ⅰ）若圓M過原點(diǎn)O，求圓M的方程；
（Ⅱ）寫出一個(gè)定圓的方程，使得無論點(diǎn)P在橢圓的什么位置，該定圓總與圓M相切，請(qǐng)寫出你的探究過程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出P是橢圓的短軸頂點(diǎn)，從而求出點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

3

2

，2）或（

3

2

，-2），進(jìn)而能求出圓M的半徑，由此能求出圓M的方程．
（Ⅱ）以原點(diǎn)為圓心，5為半徑的定圓始終與圓M相內(nèi)切，定圓的方程為x²+y²=25．利用圓的簡單性質(zhì)和兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行探究．

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)閳AM過原點(diǎn)O，所以O(shè)P⊥OF₂，
所以P是橢圓的短軸頂點(diǎn)，P的坐標(biāo)是（0，4）或（0，-4），
于是點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

3

2

，2）或（

3

2

，-2），
∴圓半徑r=|MP|=

9 4 +4

=

5

2

，
∴圓M的方程為(x-

3

2

)2+(y-2)2=

25

4

或(x-

3

2

)2+(y+2)2=

25

4

．…（6分）
（Ⅱ）以原點(diǎn)為圓心，5為半徑的定圓始終與圓M相內(nèi)切，
定圓的方程為x²+y²=25．…（8分）
探究過程為：設(shè)圓M的半徑為r，定圓的半徑為R，
因?yàn)閨MO|=

1

2

|PF₁|=

1

2

（10-|PF₂|）
=5-

1

2

|PF₂|=5-r，
所以當(dāng)原點(diǎn)為定圓圓心，半徑R=5時(shí)，
定圓始終與圓M相內(nèi)切．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程的求法，考查定圓始終與圓M相切的判斷與探究，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．