Question

(本小題滿分16分)
已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，nÎN*．
(1)求數(shù)列{a_n}的通項公式；
(2)設(shè)b_n= log₂，T_n=+++…+，是否存在最大的正整數(shù)k，使得對于任意的正整數(shù)n，有T_n>恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）a_n=(n+1)2ⁿ，nÎN*．（2）存在最大正整數(shù)k=5，使得T_n>恒成立．

本試題主要是考查了數(shù)列的前n項和與通項公式之間的互化問題，并能結(jié)合等差數(shù)列的定義得到通項公式，以及跟木同通項公式的特點，求解數(shù)列的和，采用了函數(shù)的單調(diào)性的思想，求解最值，從而得到常數(shù)k的值。
（1）根據(jù)已知的數(shù)列的前n項和與通項公式的關(guān)系，可以對于n=1,和n》2分為兩種情況來分析得到結(jié)論。
（2）根據(jù)第一問中的通項公式，表示b_n= log₂= n+1，和T_n，然后利用整體的單調(diào)性來求解參數(shù)k的值。
解: (1)當n=1時，a₁=S₁=2a₁-2²⇒a₁=4；                   ·········· 1分
當n≥2時，a_n=S_n－S_n－1=(2a_n-2ⁿ⁺¹)－(2a _n－1-2ⁿ)⇒a_n- a _n－1=2ⁿ，·········· 2分
⇒－ =1，且 =2，                              ········ 3分
所以數(shù)列是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，
則 =2+(n－1)×1=" n" +1，所以a_n=(n+1)2ⁿ，nÎN*．        ········ 6分
(2)由(1)得S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹=(n+1)2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹=n2ⁿ⁺¹，              ·········· 8分
則=2ⁿ⁺¹，所以b_n= log₂= n+1，                         ········ 10分
所以T_n= +++…+ = + + +…+，
T_n+1= +++…+++ = +++…+++，
T_n+1－T_n= +－=，
又n是正整數(shù)，所以T_n+1－T_n=>0，即T_n+1>T_n，
所以數(shù)列{T_n}是遞增的數(shù)列，又T₁ ==，                  ········ 14分
所以T_n≥T₁=，要使T_n>恒成立，只需>，即k<6，
又k是正整數(shù)，故存在最大正整數(shù)k=5，使得T_n>恒成立．      16分