Question

已知直線l過橢圓E：x²+2y²=2的右焦點F，且與E相交于P，Q兩點．
（1）設（O為原點），求點R的軌跡方程；
（2）若直線l的傾斜角為60⁰，求的值．

Answer 1

解：（1）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），R（x，y）

由，易得右焦點F（1，0）
當直線l⊥x軸時，直線l的方程是：x=1，根據對稱性可知R（1，0）
當直線l的斜率存在時，可設直線l的方程為y=k（x-1）
代入E有（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0△=8k²+8＞0；（5分）
于是R（x，y）：x=；　y=k（x-1）
消去參數(shù)k得x²+2y²-x=0而R（1，0）也適上式，故R的軌跡方程是x²+2y²-x=0
（2）設橢圓另一個焦點為F'，
在△PF'F中∠PFF'=120⁰，|F'F|=2，設|PF|=m，則
由余弦定理得
同理，在△QF'F，設|QF|=n，則
也由余弦定理得
于是
分析：（1）可設直線l的方程為y=k（x-1），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數(shù)的關系利用向量關系式即可求得R的軌跡方程；
（2）設橢圓另一個焦點為F'，在△PF'F中由余弦定理m的值，同理，在△QF'F，設|QF|=n，也由余弦定理得n的值，最后即可求得的值．
點評：本題考查橢圓的長軸和短軸的長，焦點的坐標的求法、軌跡方程、直線與圓錐曲線的綜合問題．解題時要認真審題，注意橢圓性質的合理運用．