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【題目】(2015·湖北)某廠用鮮牛奶在某臺設備上生產兩種奶制品.生產1噸A產品需鮮牛奶2噸,使用設備1小時,獲利1000元;生產1噸B產品需鮮牛奶1.5噸,使用設備1.5小時,獲利1200元.要求每天B產品的產量不超過A產品產量的2倍,設備每天生產兩種產品時間之和不超過12小時. 假定每天可獲取的鮮牛奶數量W(單位:噸)是一個隨機變量,其分布列為

(Ⅰ)求Z的分布列和均值;該廠每天根據獲取的鮮牛奶數量安排生產,使其獲利最大,因此每天的最大獲利Z(單位:元)是一個隨機變量.
(Ⅱ) 若每天可獲取的鮮牛奶數量相互獨立,求3天中至少有1天的最大獲利超過10000元的概率.

【答案】(Ⅰ)Z的分布列為:

X

8160

10200

10800

P

0.3

0.5

0.2

;(Ⅱ)0.973.
【解析】設每天兩種產品的生產數量分別為,相應的獲利為Z,
則有

目標函數為.當時,(1)表示的平面區(qū)域如圖1,三個頂點分別為。將變形為,當時,直線:軸上的截距最大,最大獲利.當時,(1)表示的平面區(qū)域如圖2,三個頂點分別為.將變形為,當時,直線軸上的截距最大,最大獲利.當時,(1)表示的平面區(qū)域如圖3,四個頂點分別為.將變形為,當時,直線:軸上的截距最大,最大獲利.故最大獲利Z的分布列為

X

8160

10200

10800

P

0.3

0.5

0.2

因此,.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,一天最大獲利超過10000元的概率,有二項分布,3天中至少有1天最大獲利超過10000元的概率為.
二項分布是高中概率中最重要的概率分布模型,是近年高考非常重要的一個考點.獨立重復試驗是相互獨立事件的特例(概率公式也是如此),就像對立事件是互斥事件的特例一樣,只要有“恰好”字樣的用獨立重復試驗的概率公式計算更簡單,就像有“至少”或“至多”字樣的題用對立事件的概率公式計算更簡單一樣.

練習冊系列答案
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