Question

9．設(shè)曲線y=$\sqrt{x}$有一點P（x₁，y₁），與曲線切于點P的切線為m，若直線n過P且與m垂直，則稱n為曲線在點P處的法線，設(shè)n交x軸于點Q，又作PR⊥x軸于R，則RQ的長為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 求出曲線對應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和法線的斜率，運用點斜式方程可得法線方程，可令y=0，求得Q的坐標(biāo)，計算即可得到所求長．

解答 解：y=$\sqrt{x}$的導(dǎo)數(shù)為y′=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
可得切線的斜率為$\frac{1}{2\sqrt{{x}_{1}}}$，法線的斜率為-2$\sqrt{{x}_{1}}$，
即有直線n的方程為y-$\sqrt{{x}_{1}}$=-2$\sqrt{{x}_{1}}$（x-x₁），
令y=0，可得x=x₁+$\frac{1}{2}$，即Q（x₁+$\frac{1}{2}$，0），又R（x₁，0），
則|QR|=$\frac{1}{2}$，
故選：A．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查直線方程的運用，屬于基礎(chǔ)題．