【題目】如圖所示,已知三棱柱中, , , .
(1)求證: ;
(2)若, ,求二面角的余弦值.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2).
【解析】試題分析: (1)證明線面垂直,一般利用線面垂直判定定理,即從線線垂直出發(fā)給予證明,而線線垂直的尋找與論證往往需要結(jié)合平幾知識(shí),如利用等腰三角形性質(zhì)得底邊上中線垂直底面得線線垂直,(2)一般利用空間向量數(shù)量積求二面角大小,先根據(jù)條件確定恰當(dāng)空間直角坐標(biāo)系,設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo),利用方程組求各面法向量,利用向量數(shù)量積求法向量夾角余弦值,最后根據(jù)法向量夾角與二面角關(guān)系確定二面角的余弦值.
試題解析:(1)∵四邊形為平行四邊形,且, ,
∴為等邊三角形,
取中點(diǎn),連接, ,則,
∵,∴,
∵, 平面, 平面,
∴平面,∴.
(2)∵為等邊三角形, ,∴,
∵在中, , , 為中點(diǎn),
∴,
∵, ,∴,
∴,
又,
∴平面.
以為原點(diǎn), , , 方向?yàn)?/span>, , 軸的正向,建立如圖所示的坐標(biāo)系, , , , ,
則,則, , ,
則平面的一個(gè)法向量,
設(shè)為平面的法向量,則令,∴,
∴,
∴.
點(diǎn)睛:垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類型.
(1)證明線面、面面平行,需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.
(2)證明線面垂直,需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.
(3)證明線線垂直,需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)“喜歡空間想象”與“性別”有關(guān),某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證此結(jié)論,從全體組員中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)(男生30人、女生20人),給每位同學(xué)立體幾何題、代數(shù)題各一道,讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答,選題情況統(tǒng)計(jì)如下表:(單位:人)
立體幾何題 | 代數(shù)題 | 總計(jì) | |
男同學(xué) | 22 | 8 | 30 |
女同學(xué) | 8 | 12 | 20 |
總計(jì) | 30 | 20 | 50 |
(1)能否有97.5%以上的把握認(rèn)為“喜歡空間想象”與“性別”有關(guān)?
(2)經(jīng)統(tǒng)計(jì)得,選擇做立體幾何題的學(xué)生正答率為,且答對(duì)的學(xué)生中男生人數(shù)是女生人數(shù)的5倍,現(xiàn)從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人對(duì)她們的答題情況進(jìn)行研究,記抽取的兩人中答對(duì)的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了參加師大附中第30界田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)的開(kāi)幕式,高三年級(jí)某6個(gè)班聯(lián)合到集市購(gòu)買(mǎi)了6根竹竿,作為班旗的旗桿之用,它們的長(zhǎng)度分別為3.8,4.3,3.6,4.5,4.0,4.1(單位:米).
(Ⅰ)若從中隨機(jī)抽取兩根竹竿,求長(zhǎng)度之差不超過(guò)0.5米的概率;
(Ⅱ)若長(zhǎng)度不小于4米的竹竿價(jià)格為每根10元,長(zhǎng)度小于4米的竹竿價(jià)格為每根元.從這6根竹竿中隨機(jī)抽取兩根,若期望這兩根竹竿的價(jià)格之和為18元,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知隨機(jī)變量的取值為不大于的非負(fù)整數(shù)值,它的分布列為:
0 | 1 | 2 | n | ||
其中()滿足: ,且.
定義由生成的函數(shù),令.
(I)若由生成的函數(shù),求的值;
(II)求證:隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望, 的方差;
()
(Ⅲ)現(xiàn)投擲一枚骰子兩次,隨機(jī)變量表示兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和,此時(shí)由生成的函數(shù)記為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是偶函數(shù).
(1)求的值;
(2)設(shè),若函數(shù)與的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了研究家用轎車(chē)在高速公路上的車(chē)速情況,交通部門(mén)隨機(jī)對(duì)50名家用轎車(chē)駕駛員進(jìn)行調(diào)查,得到其在高速公路上行駛時(shí)的平均車(chē)速情況為:在30名男性駕駛員中,平均車(chē)速超過(guò)的有20人,不超過(guò)的有10人.在20名女性駕駛員中,平均車(chē)速超過(guò)的有5人,不超過(guò)的有15人.
(Ⅰ)完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為平均車(chē)速超過(guò)的人與性別有關(guān);
平均車(chē)數(shù)超過(guò) 人數(shù) | 平均車(chē)速不超過(guò) 人數(shù) | 合計(jì) | |
男性駕駛員人數(shù) | |||
女性駕駛員人數(shù) | |||
合計(jì) |
(Ⅱ)以上述數(shù)據(jù)樣本來(lái)估計(jì)總體,現(xiàn)從高速公路上行駛的大量家用轎車(chē)中隨即抽取3輛,記這3輛車(chē)中駕駛員為女性且車(chē)速不超過(guò)的車(chē)輛數(shù)為,若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求的分布列和數(shù)學(xué)期望
參考公式:,其中.
參考數(shù)據(jù):
0.150 | 0.100 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某班從6名班干部中(其中男生4人,女生2人),任選3人參加學(xué)校的義務(wù)勞動(dòng).
(1)設(shè)所選3人中女生人數(shù)為ξ,求ξ的分布列;
(2)求男生甲或女生乙被選中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖像,若,求函數(shù)的值域;
(2)已知,分別為中角的對(duì)邊,且滿足,求的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分) 某中學(xué)的環(huán)保社團(tuán)參照國(guó)家環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)制定了該校所在區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級(jí)對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表(假設(shè)該區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)不會(huì)超過(guò)):
空氣質(zhì)量指數(shù) | ||||||
空氣質(zhì)量等級(jí) | 級(jí)優(yōu) | 級(jí)良 | 級(jí)輕度污染 | 級(jí)中度污染 | 級(jí)重度污染 | 級(jí)嚴(yán)重污染 |
該社團(tuán)將該校區(qū)在年天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)作為樣本,繪制的頻率分布直方圖如下圖,把該直方圖所得頻率估計(jì)為概率.
(Ⅰ)請(qǐng)估算年(以天計(jì)算)全年空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良的天數(shù)(未滿一天按一天計(jì)算);
(Ⅱ)該校年月、日將作為高考考場(chǎng),若這兩天中某天出現(xiàn)級(jí)重度污染,需要凈化空氣費(fèi)用元,出現(xiàn)級(jí)嚴(yán)重污染,需要凈化空氣費(fèi)用元,記這兩天凈化空氣總費(fèi)用為元,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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