Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，a_n+1=S_n+3n+1（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=，設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求使不等式-T_n＜成立的最小正整數(shù)n的值．

Answer 1

解：（1）∵a₁=1，a_n+1=S_n+3n+1（n∈N^*），①
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-1+3（n-1）+1②
①-②得a_n+1-a_n=a_n+3，即n≥2時(shí)，a_n+1=2a_n+3，
又a₂=S₁+4=5=2a₁+3，故對(duì)一切正整數(shù)n，a_n+1=2a_n+3，
則有a_n+1+3=2（a_n+3），所以數(shù)列{a_n+3}是公比為2，首項(xiàng)為a₁+3=4的等比數(shù)列，
故a_n+3=4•2^n-1，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-3（n∈N^*）．
（2）b_n==•=•=（-），
故T_n=b₁+b₂+…+b_n=[（-）+（-）+…+（-）]
=×（-）=-，
故-T_n=＜，即2ⁿ⁺³＞2016，故只要n+3≥11，即n≥8，
故所求的最小正整數(shù)n的值為8．
分析：（1）由a_n+1=S_n+3n+1和a_n=S_n-1+3（n-1）+1相減得a_n+1-a_n=a_n+3，即n≥2時(shí)，a_n+1=2a_n+3，兩邊同時(shí)加上3，構(gòu)造一個(gè)等比數(shù)列{a_n+3}，求出該等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）把（1）求得結(jié)果代入b_n=，利用裂項(xiàng)相消法即可求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，解此不等式-T_n＜即可求得結(jié)果．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列求和的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)a_n=s_n-s_n-1即可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，還要熟練掌握裂項(xiàng)相消法求和，數(shù)列是高考的�？碱}，需要同學(xué)們熟練掌握，屬中檔題．