Question

4．求函數(shù)y=cos²x+sinx．（1）x∈R．（2）-$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{4}$的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，通過(guò)換元轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求函數(shù)y=f（x）的最大值與最小值
（2）根據(jù)第一問化簡(jiǎn)的結(jié)果，由x的取值范圍得新元范圍結(jié)合二次函數(shù)圖象即可求函數(shù)y=f（x）的最大值與最小值

解答 解：（1）化簡(jiǎn)y=cos²x+sinx=1-sin²α+sinx
令t=sinx，t∈[-1，1]
則y=1-t²+t=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$
由二次函數(shù)圖象性質(zhì)知
故當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時(shí)y取最大值為$\frac{5}{4}$，
當(dāng)t=-1時(shí)y取最小值為-1．
（2）∵-$\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{4}$
∴$-\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sinx≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$即t∈$[-\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}]$，
由二次函數(shù)的圖象性質(zhì)可得
故當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時(shí)y取最大值為$\frac{5}{4}$，
當(dāng)t=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)y取最小值為$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角換元以后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值的問題，然后屬于易錯(cuò)題．