Question

已知數(shù)列{a_n}中，a1=1，an+1=

2an

2+an

(n∈N*)
（1）求 a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）由 a1=1，an+1=

2an

2+an

(n∈N*)，把n=1，2，3代入遞推公式可求a₂，a₃，a₄
（2）由 an+1=

2an

2+an

(n∈N*)可得 

1

an+1

=

2+an

2an

=

1

an

+

1

2

，即

1

an+1

-

1

an

=

1

2

(n∈N*)，結(jié)合等差數(shù)列的通項可先求

1

an

，進(jìn)而可求a_n

解答：解：（1）因為 a1=1，an+1=

2an

2+an

(n∈N*)
所以  a2=

2a1

2+a1

=

2

3

，a3=

2a2

2+a2

=

1

2

，a4=

2a3

2+a3

=

2

5

…（4分）
（2）解：因為 an+1=

2an

2+an

(n∈N*)
所以 

1

an+1

=

2+an

2an

=

1

an

+

1

2

∴

1

an+1

-

1

an

=

1

2

(n∈N*)…（8分）
又  

1

a1

=1故 {

1

an

}是首項為1，公差為

1

2

的等差數(shù)列…（10分）
所以  

1

an

=1+

1

2

(n-1)=

n+1

2

，
因此 an=

2

n+1

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的項，由數(shù)列的遞推公式利用構(gòu)造特殊數(shù)列 （等差數(shù)列、等比數(shù)列）求解數(shù)列的通項公式，屬于數(shù)列基本方法的簡單應(yīng)用．