Question

10．如圖，已知平面四邊形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=$\sqrt{5}$，∠ADC=90°，沿直線AC將△ACD翻折成△ACD′，直線AC與BD′所成角的余弦的最大值是$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

Answer 1

分析 如圖所示，取AC的中點(diǎn)O，AB=BC=3，可得BO⊥AC，在Rt△ACD′中，AC=$\sqrt{6}$．作D′E⊥AC，垂足為E，D′E=$\frac{\sqrt{30}}{6}$．CO=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，CE=$\frac{{D}^{′}{C}^{2}}{CA}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，EO=CO-CE=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．過點(diǎn)B作BF∥AC，作FE∥BO交BF于點(diǎn)F，則EF⊥AC．連接D′F．∠FBD′為直線AC與BD′所成的角．則四邊形BOEF為矩形，BF=EO=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．EF=BO=$\frac{\sqrt{30}}{2}$．則∠FED′為二面角D′-CA-B的平面角，設(shè)為θ．利用余弦定理求出D′F²的最小值即可得出．

解答 解：如圖所示，取AC的中點(diǎn)O，∵AB=BC=3，∴BO⊥AC，
在Rt△ACD′中，$AC=\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{6}$．
作D′E⊥AC，垂足為E，D′E=$\frac{1×\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{30}}{6}$．
CO=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，CE=$\frac{{D}^{′}{C}^{2}}{CA}$=$\frac{1}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴EO=CO-CE=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
過點(diǎn)B作BF∥AC，作FE∥BO交BF于點(diǎn)F，則EF⊥AC．連接D′F．∠FBD′為直線AC與BD′所成的角．
則四邊形BOEF為矩形，∴BF=EO=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
EF=BO=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{2}$．
則∠FED′為二面角D′-CA-B的平面角，設(shè)為θ．
則D′F²=$（\frac{\sqrt{30}}{6}）^{2}$+$（\frac{\sqrt{30}}{2}）^{2}$-2×$\frac{\sqrt{30}}{6}×\frac{\sqrt{30}}{2}$cosθ=$\frac{25}{3}$-5cosθ≥$\frac{10}{3}$，cosθ=1時(shí)取等號(hào)．
∴D′B的最小值=$\sqrt{\frac{10}{3}+（\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}}$=2．
∴直線AC與BD′所成角的余弦的最大值=$\frac{BF}{{D}^{′}B}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系、空間角，考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．