Question

已知函數(shù)f(x)=(m+1)lnx+

m

2

x2-1．
（1）當(dāng)m=-

1

2

時，求f（x）在區(qū)間[

1

e

， e]上的最值；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)在區(qū)間[

1

e

， e]上的單調(diào)性，即可求最值；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，對m分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

解答：解：（1）當(dāng)m=-

1

2

時，f(x)=

1

2

lnx-

1

4

x2-1
∴f′(x)=

(1+x)(1-x)

2x

∵x＞0，∴x+1＞0
∴令f′（x）＞0，即

(1+x)(1-x)

2x

＞0，∵x＞0，x+1＞0，∴0＜x＜1；
令f′（x）＜0，即

(1+x)(1-x)

2x

＜0，∵x＞0，x+1＞0，∴x＞1，
∴函數(shù)的遞增區(qū)間為（0，1），遞減區(qū)間為（1，+∞）
∵x∈[

1

e

， e]
∴函數(shù)的遞增區(qū)間為[

1

e

，1），遞減區(qū)間為（1，e]
∴f（x）在區(qū)間[

1

e

， e]上的最大值為f（1）=-

5

4

，最小值為f（e）=

1

2

-

1

4

e2-1；
（2）∵函數(shù)f(x)=(m+1)lnx+

m

2

x2-1，
∴f′(x)=

mx2+(m+1)

x

（x＞0）
當(dāng)m≥0時，f′（x）＞0，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)-1＜m＜0時，f′(x)=

m(x+ -1-m m )(x- -1-m m )

x

，
令f′（x）＞0，∵x＞0，-1＜m＜0，∴0＜x＜

-1-m m

；
令f′（x）＜0，∵x＞0，-1＜m＜0，∴x＞

-1-m m

；
∴函數(shù)在（0，

-1-m m

）上單調(diào)遞增，在（

-1-m m

，+∞）上單調(diào)減；
當(dāng)m≤-1時，f′（x）≤0，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．