Question

在等比數(shù)列{a_n}中，a₁=secθ（θ為銳角），且前n項(xiàng)和S_n滿足

lim

n→∞

Sn=

1

a1

，那么θ的取值范圍是

(0，

π

4

)

．

Answer 1

分析：由題意，可知數(shù)列的公比的范圍，利用數(shù)列的極限，求出secθ的表達(dá)式，然后求出θ的取值范圍．

解答：解：在等比數(shù)列{a_n}中，a₁=secθ（θ為銳角），且前n項(xiàng)和S_n滿足

lim

n→∞

Sn=

1

a1

，所以數(shù)列的公比為q，0＜|q|＜1，
所以

secθ

1-q

=

1

secθ

，sec²θ=1-q∈（1，2），θ為銳角即1＞cosθ＞

2

2

，θ∈(0，

π

4

)．
故答案為：(0，

π

4

)．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的極限存在的充分條件，三角函數(shù)的值的范圍的應(yīng)用，數(shù)列的和，考查計(jì)算能力．