Question

如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱DD₁的中點．
（Ⅰ）求直線BE與平面ABB₁A₁所成的角的正弦值；
（Ⅱ）在棱C₁D₁上是否存在一點F，使B₁F∥平面A₁BE？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（I）先取AA₁的中點M，連接EM，BM，根據(jù)中位線定理可知EM∥AD，而AD⊥平面ABB₁A₁，則EM⊥面ABB₁A₁，從而BM為直線BE在平面ABB₁A₁上的射影，則∠EBM直線BE與平面ABB₁A₁所成的角，設(shè)正方體的棱長為2，則EM=AD=2，BE=3，于是在Rt△BEM中，求出此角的正弦值即可．
（II）在棱C₁D₁上存在點F，使B₁F平面A₁BE，分別取C₁D₁和CD的中點F，G，連接EG，BG，CD₁，F(xiàn)G，因A₁D₁∥B₁C₁∥BC，且A₁D₁=BC，所以四邊形A₁BCD₁為平行四邊形，根據(jù)中位線定理可知EG∥A₁B，從而說明A₁，B，G，E共面，則BG?面A₁BE，根據(jù)FG∥C₁C∥B₁G，且FG=C₁C=B₁B，從而得到四邊形B₁BGF為平行四邊形，則B₁F∥BG，而B₁F?平面A₁BE，BG?平面A₁BE，根據(jù)線面平行的判定定理可知B₁F∥平面A₁BE．

解答：解：（I）如圖（a），取AA₁的中點M，連接EM，BM，因為E是DD₁的中點，四邊形ADD₁A₁為正方形，所以EM∥AD．
又在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中．AD⊥平面ABB₁A₁，所以EM⊥面ABB₁A₁，從而BM為直線BE在平面ABB₁A₁上的射影，
∠EBM直線BE與平面ABB₁A₁所成的角．
設(shè)正方體的棱長為2，則EM=AD=2，BE=

22+22+12

=3，
于是在Rt△BEM中，sin∠EBM=

EM

BE

=

2

3

即直線BE與平面ABB₁A₁所成的角的正弦值為

2

3

．

（II）在棱C₁D₁上存在點F，使B₁F平面A₁BE，
事實上，如圖（b）所示，分別取C₁D₁和CD的中點F，G，連接EG，BG，CD₁，F(xiàn)G，
因A₁D₁∥B₁C₁∥BC，且A₁D₁=BC，所以四邊形A₁BCD₁為平行四邊形，
因此D₁C∥A₁B，又E，G分別為D₁D，CD的中點，所以EG∥D₁C，從而EG∥A₁B，這說明A₁，B，G，E共面，所以BG?A₁BE
因四邊形C₁CDD₁與B₁BCC₁皆為正方形，F(xiàn)，G分別為C₁D₁和CD的中點，所以FG∥C₁C∥B₁G，且FG=C₁C=B₁B，因此四邊形B₁BGF為平行四邊形，所以B₁F∥BG，而B₁F?平面A₁BE，BG?平面A₁BE，故B₁F∥平面A₁BE．

點評：本題考查直線與平面所成的角，直線與平面平行，考查考生探究能力、空間想象能力．