Question

如圖，E是矩形ABCD中AD邊上的點(diǎn)，F(xiàn)為CD邊的中點(diǎn)，AB=AE=

2

3

AD=4，現(xiàn)將△ABE沿BE邊折至△PBE位置，且平面PBE⊥平面BCDE．
（1）求證：平面PBE⊥平面PEF；
（2）求四棱錐P-BEFC的體積．

Answer 1

分析：（1）利用折疊前的圖形可判斷BE⊥EF，由面面垂直的性質(zhì)可得EF⊥平面PBE，再由線面垂直得面面垂直；
（2）取BE的中點(diǎn)O，連接OP，可證PO為棱錐的高，求出棱錐的底面四邊形BCFE的面積與高PO，代入公式計算．

解答：解：（1）證明：∵AB=AE=

2

3

AD=4，
∴DE=

1

3

AD=

1

2

AB=2，
∵F為CD邊的中點(diǎn)，
∴DE=DF，又DE⊥DF，
∴∠DEF=45°，
同理∠AEB=45°，
∴∠BEF=45°，即EF⊥BE，
又平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE=BE，
∴EF⊥平面PBE，
EF?平面PEF，
∴平面PBE⊥平面PEF；
（2）取BE的中點(diǎn)O，連接OP，
∵PB=PE，∴PO⊥BE，
又平面PBE⊥平面BCDE，平面PBE∩平面BCDE=BE，
∴PO⊥平面BCDE，
即PO為棱錐P-BEFC的高，PO=2

2

SBEFC=SABCD-SABE-SDEF=6×4-

1

2

×4×4-

1

2

×2×2=14，
則V=

1

3

•SBEFC•h=

1

3

×14×2

2

=

28 2

3

．

點(diǎn)評：本題利用折疊問題考查了面面垂直的證明，考查了棱錐的體積計算，解答折疊性問題要利用好折疊前圖形的性質(zhì)與數(shù)量關(guān)系．