(2012•北京)設A是由m×n個實數(shù)組成的m行n列的數(shù)表,滿足:每個數(shù)的絕對值不大于1,且所有數(shù)的和為零,記s(m,n)為所有這樣的數(shù)表構成的集合.對于A∈S(m,n),記ri(A)為A的第ⅰ行各數(shù)之和(1≤ⅰ≤m),Cj(A)為A的第j列各數(shù)之和(1≤j≤n);記K(A)為|r1(A)|,|R2(A)|,…,|Rm(A)|,|C1(A)|,|C2(A)|,…,|Cn(A)|中的最小值.
(1)如表A,求K(A)的值;
1 1 -0.8
0.1 -0.3 -1
(2)設數(shù)表A∈S(2,3)形如
1 1 c
a b -1
求K(A)的最大值;
(3)給定正整數(shù)t,對于所有的A∈S(2,2t+1),求K(A)的最大值.
分析:(1)根據(jù)ri(A),Cj(A),定義求出r1(A),r2(A),c1(A),c2(A),c3(A),再根據(jù)K(A)為|r1(A)|,|R2(A)|,|R3(A)|,|C1(A)|,|C2(A)|,|C3(A)|中的最小值,即可求出所求.
(2)先用反證法證明k(A)≤1,然后證明k(A)=1存在即可;
(3)首先構造滿足k(A)=
2t+1
t+2
的A={ai,j}(i=1,2,j=1,2,…,2t+1),然后證明
2t+1
t+2
是最大值即可.
解答:解:(1)由題意可知r1(A)=1.2,r2(A)=-1.2,c1(A)=1.1,c2(A)=0.7,c3(A)=-1.8
∴K(A)=0.7
(2)先用反證法證明k(A)≤1:
若k(A)>1
則|c1(A)|=|a+1|=a+1>1,∴a>0
同理可知b>0,∴a+b>0
由題目所有數(shù)和為0
即a+b+c=-1
∴c=-1-a-b<-1
與題目條件矛盾
∴k(A)≤1.
易知當a=b=0時,k(A)=1存在
∴k(A)的最大值為1
(3)k(A)的最大值為
2t+1
t+2

首先構造滿足k(A)=
2t+1
t+2
的A={ai,j}(i=1,2,j=1,2,…,2t+1):a1,1=a1,2=…=a1,t=1,a1,t+1=a1,t+2=…=a1,2t+1=-
t-1
t+2
,a2,1=a2,2=…=a2,t=
t2+t+1
t(t+2)
,a2,t+1=a2,t+2=…=a2,2t+1=-1

經(jīng)計算知,A中每個元素的絕對值都小于1,所有元素之和為0,且|r1(A)|=|r2(A)|=
2t+1
t+2
|c1(A)|=|c2(A)|=…=|ct(A)|=1+
t2+t+1
t(t+2)
>1+
t+1
t+2
2t+1
t+2
,|ct+1(A)|=|ct+2(A)|=…=|c2t+1(A)|=1+
t-1
t+2
=
2t+1
t+2

下面證明
2t+1
t+2
是最大值.若不然,則存在一個數(shù)表A∈S(2,2t+1),使得k(A)=x>
2t+1
t+2

由k(A)的定義知A的每一列兩個數(shù)之和的絕對值都不小于x,而兩個絕對值不超過1的數(shù)的和,其絕對值不超過2,故A的每一列兩個數(shù)之和的絕對值都在區(qū)間[x,2]中.由于x>1,故A的每一列兩個數(shù)符號均與列和的符號相同,且絕對值均不小于x-1.
設A中有g列的列和為正,有h列的列和為負,由對稱性不妨設g<h,則g≤t,h≥t+1.另外,由對稱性不妨設A的第一行行和為正,第二行行和為負.
考慮A的第一行,由前面結論知A的第一行有不超過t個正數(shù)和不少于t+1個負數(shù),每個正數(shù)的絕對值不超過1(即每個正數(shù)均不超過1),每個負數(shù)的絕對值不小于x-1(即每個負數(shù)均不超過1-x).因此|r1(A)|=r1(A)≤t•1+(t+1)(1-x)=2t+1-(t+1)x=x+(2t+1-(t+2)x)<x,
故A的第一行行和的絕對值小于x,與假設矛盾.因此k(A)的最大值為
2t+1
t+2
點評:本題主要考查了進行簡單的演繹推理,以及新定義的理解和反證法的應用,同時考查了分析問題的能力,屬于難題.
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記ri(A)為A的第i行各數(shù)之和(i=1,2),Cj(A)為A的第j列各數(shù)之和(j=1,2,3);記k(A)為|r1(A)|,|r2(A)|,|c1(A)|,|c2(A)|,|c3(A)|中的最小值.
(1)對如下數(shù)表A,求k(A)的值
1 1 -0.8
0.1 -0.3 -1
(2)設數(shù)表A形如
1 1 -1-2d
d d -1
其中-1≤d≤0.求k(A)的最大值;
(Ⅲ)對所有滿足性質(zhì)P的2行3列的數(shù)表A,求k(A)的最大值.

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