【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
為平行四邊形，已知
， 
， 
于
.
（1）求證： 
；
（2）若平面
平面
，且
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】試題分析：（1）連接
，證明
，
∴
，∵
，∴
，由此可證
平面
，即可證明
.
（2）由
平面
，平面
平面
，
所以
， 
， 
兩兩垂直，以
為原點， 
， 
， 
分別為
軸， 
軸， 
軸建立空間直角坐標系，如圖所示.根據空間向量求面面角的方法即可求二面角
的余弦值.
（1）連接
，
∵
， 
， 
是公共邊，
∴
，
∴
，
∵
，∴
，
又
平面
， 
平面
， 
，
∴
平面
，
又
平面
，
∴
.
（2）
由
平面
，平面
平面
，
所以
， 
， 
兩兩垂直，以
為原點， 
， 
， 
分別為
軸， 
軸， 
軸建立空間直角坐標系，如圖所示.
因為
， 
， 
，
所以
， 
， 
，
則
， 
， 
， 
， 
， 
.
設平面
的法向量為
，
則
，即
，令
，則
，
又平面
的一個法向量為
，
設二面角
所成的平面角為
，
則
，
顯然二面角
是銳角，故二面角
的余弦值為
.
智能訓練練測考系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】隨著人口老齡化的到來，我國的勞動力人口在不斷減少，“延遲退休”已經成為人們越來越關注的話題，為了解公眾對“延遲退休”的態(tài)度，某校課外研究性學習小組在某社區(qū)隨機抽取了50人進行調查，將調查情況進行整理后制成下表：
年齡 | [20,25) | [25,30) | [30,35) | [35,40) | [40,45) |
人數 | 4 | 5 | 8 | 5 | 3 |
年齡 | [45,50) | [50,55) | [55,60) | [60,65) | [65,70) |
人數 | 6 | 7 | 3 | 5 | 4 |
經調查年齡在［25,30),[55,60）的被調查者中贊成“延遲退休”的人數分別是3人和2人.現從這兩組的被調查者中各隨機選取2人，進行跟蹤調查．
（I）求年齡在［25,30）的被調查者中選取的2人都贊成“延遲退休”的概率；
（II）若選中的4人中，不贊成“延遲退休”的人數為
，求隨機變量
的分布列和數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的一個焦點坐標為
．
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）已知點
，過點
的直線
（與
軸不重合）與橢圓
交于
兩點，直線
與直線
相交于點
，試證明：直線
與
軸平行．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示,已知點P在正方體ABCD-A′B′C′D′的對角線BD′上,∠PDA=60°.
(1)求DP與CC′所成角的大小.
(2)求DP與平面AA′D′D所成角的大小.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．
如圖，在陽馬
中，側棱
底面
，且
，過棱
的中點
，作
交
于點
，連接
（Ⅰ）證明：
．試判斷四面體
是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫
出結論）；若不是，說明理由；
（Ⅱ）若面
與面所成二面角的大小為
，求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直線
：
，半徑為2的圓
與相切，圓心在
軸上且在直線的右上方.
（1）求圓的方程；
（2）過點
的直線與圓交于
，
兩點（在軸上方），問在軸正半軸上是否存在定點
，使得軸平分
？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.
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