若數(shù)列{an}滿足數(shù)列{an}滿足a1=2，an+1=
1+an1-an
(n∈N*)，則該數(shù)列的前2013項的乘積
2
2
．
分析：先由a1=2，an+1=
1+an
1-an
推得數(shù)列的周期，利用數(shù)列的周期性可求得答案．
解答：解：由a1=2，an+1=
1+an
1-an
，得
an+4=
1+an+3
1-an+3
=
1+
1+an+2
1-an+2
1-
1+an+2
1-an+2
=-
1
an+2
=-
1
1+an+1
1-an+1
=-
1-an+1
1+an+1
=-
1-
1+an
1-an
1+
1+an
1-an
=an，
∴4為數(shù)列{an}的周期，
又a2=
1+a1
1-a1
=
1+2
1-2
=-3，a3=
1+a2
1-a2
=
1+(-3)
1-(-3)
=-
1
2
，a4=
1+a3
1-a3
=
1-
1
2
1-(-
1
2
)
=
1
3
，
∴a1a2a3a4=2×(-3)×(-
1
2
)×
1
3
=1，
∴該數(shù)列的前2013項的乘積為：(a1a2a3a4)503•a1=2，
故答案為：2．
點評：本題考查數(shù)列遞推式及數(shù)列的函數(shù)特性，屬中檔題，解決本題的關鍵是利用遞推式推導數(shù)列的周期．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對負實數(shù)a，數(shù)4a+3，7a+7，a2+8a+3依次成等差數(shù)列
（1）求a的值；
（2）若數(shù)列{an}滿足an+1=an+1-2an（n∈N+），a1=m，求an的通項公式；
（3）在（2）的條件下，若對任意n∈N+，不等式a2n+1＜a2n-1恒成立，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若數(shù)列{an}滿足：a1=m1，a2=m2，an+2=pan+1+qan（p，q是常數(shù)），則稱數(shù)列{an}為二階線性遞推數(shù)列，且定義方程x2=px+q為數(shù)列{an}的特征方程，方程的根稱為特征根； 數(shù)列{an}的通項公式an均可用特征根求得：
①若方程x2=px+q有兩相異實根α，β，則數(shù)列通項可以寫成an=c1αn+c2βn，（其中c1，c2是待定常數(shù)）；
②若方程x2=px+q有兩相同實根α，則數(shù)列通項可以寫成an=（c1+nc2）αn，（其中c1，c2是待定常數(shù)）；
再利用a1=m1，a2=m2，可求得c1，c2，進而求得an．根據(jù)上述結(jié)論求下列問題：
（1）當a1=5，a2=13，an+2=5an+1-6an（n∈N*）時，求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）當a1=1，a2=11，an+2=2an+1+3an+4（n∈N*）時，求數(shù)列{an}的通項公式；
（3）當a1=1，a2=1，an+2=an+1+an（n∈N*）時，記Sn=a1Cn1+a2Cn2+…+anCnn，若Sn能被數(shù)8整除，求所有滿足條件的正整數(shù)n的取值集合．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設m＞3，對于數(shù)列{an} （n=1，2，…，m，…），令bk為a1，a2，…，ak中的最大值，稱數(shù)列 {bn} 為{an} 的“遞進上限數(shù)列”．例如數(shù)列2，1，3，7，5的遞進上限數(shù)列為2，2，3，7，7．則下面命題中
①若數(shù)列{an} 滿足an+3=an，則數(shù)列{an} 的遞進上限數(shù)列必是常數(shù)列；
②等差數(shù)列{an} 的遞進上限數(shù)列一定仍是等差數(shù)列
③等比數(shù)列{an} 的遞進上限數(shù)列一定仍是等比數(shù)列
正確命題的個數(shù)是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2008•奉賢區(qū)一模）我們規(guī)定：對于任意實數(shù)A，若存在數(shù)列{an}和實數(shù)x（x≠0），使得A=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1，則稱數(shù)A可以表示成x進制形式，簡記為：A=
.
x\～(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)
．如：A=
.
2\～(-1)(3)(-2)(1)
，則表示A是一個2進制形式的數(shù)，且A=-1+3×2+（-2）×22+1×23=5．
（1）已知m=（1-2x）（1+3x2）（其中x≠0）），試將m表示成x進制的簡記形式．
（2）若數(shù)列{an}滿足a1=2，ak+1=
1
1-ak
，k∈N*，bn=
.
2\～(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)
（n∈N*）．求證：bn=
2
7
•8n-
2
7
．
（3）若常數(shù)t滿足t≠0且t＞-1，dn=
.
t\～(
C
1
n
)(
C
2
n
)(
C
3
n
)…(
C
n-1
n
)(
C
n
n
)
，求
lim
n→∞
dn
dn+1
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2008•奉賢區(qū)模擬）我們規(guī)定：對于任意實數(shù)A，若存在數(shù)列{an}和實數(shù)x（x≠0），使得A=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1，則稱數(shù)A可以表示成x進制形式，簡記為：A=
.
x\～(a1)(a2)(a3)…(an-1)(an)
．如：A=
.
2\～(-1)(3)(-2)(1)
，則表示A是一個2進制形式的數(shù)，且A=-1+3×2+（-2）×22+1×23=5．
（1）已知m=（1-2x）（1+3x2）（其中x≠0），試將m表示成x進制的簡記形式．
（2）若數(shù)列{an}滿足a1=2，ak+1=
1
1-ak
，k∈N*，bn=
.
2\～(a1)(a2)(a3)…(a3n-2)(a3n-1)(a3n)
（n∈N*），是否存在實常數(shù)p和q，對于任意的n∈N*，bn=p•8n+q總成立？若存在，求出p和q；若不存在，說明理由．
（3）若常數(shù)t滿足t≠0且t＞-1，dn=
.
t\～(
C
1
n
)(
C
2
n
)(
C
3
n
)…(
C
n-1
n
)(
C
n
n
)
，求
lim
n→∞
dn
dn+1
．

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